Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, , угол острый.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим ∠PWQ = α, ∠QPW = β. По расширенной теореме синусов sin α = PQ/(2R) = 16/20 = 4/5.
Угол α острый, поэтому cos α = √(1 − 16/25) = 3/5. Кроме того, α > 45°, поскольку sin α = 4/5 > √2/2.
По той же теореме sin β = QW/(2R) = 12/20 = 3/5 = cos α = sin(90° − α).
Для угла треугольника отсюда β = 90° − α или β = 90° + α.
Второй случай невозможен: тогда α + β = 90° + 2α > 180°.
Следовательно, α + β = 90°, а ∠PQW = 180° − (α + β) = 90°.
Ответ: треугольник PQW прямоугольный, прямой угол при Q.
б) Вычисление.
Из AP : PB = CQ : QB = 1 : 4 следует BP/BA = BQ/BC = 4/5.
По обратной теореме Фалеса в треугольнике BAC имеем PQ ∥ AC; по подобию треугольников BPQ и BAC получаем PQ/AC = 4/5. Значит, AC = 16 · 5/4 = 20.
Аналогично, CQ/CB = CW/CD = 1/5, поэтому в треугольнике CBD отрезок QW параллелен BD и QW/BD = 1/5. Следовательно, BD = 12 · 5 = 60.
Так как PQ ⊥ QW, а AC ∥ PQ и BD ∥ QW, диагонали AC и BD перпендикулярны.
Пусть O — точка пересечения диагоналей. Складывая площади четырёх прямоугольных треугольников с вершиной O, получаем S = (AO + OC)(BO + OD)/2 = AC · BD/2.
Таким образом, S = 20 · 60/2 = 600.
Ответ: 600.