Задание 15 ЕГЭ по профильной математике № M27-39

а) Плоскость $CMK$ делит тетраэдр на пирамиды $CAMK$ и $CBMKD$ с общей вершиной $C$ и основаниями в плоскости $ABD$. Высоты у них общие, поэтому объёмы относятся как площади оснований.

$AM:AB=AK:AD=2:3$, треугольник $AMK$ подобен $ABD$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$: $S_{AMK}=\frac{4}{9}{S}_{ABD}$, $S_{BMKD}=\frac{5}{9}{S}_{ABD}$. Отношение $5:4$.

б) Пусть $T$ — середина $BD$, $L$ — точка пересечения $AT$ и $MK$. $AT\perp BD$ и $CT\perp BD$, значит, $BD\perp (ACT)$. $MK\parallel BD$, поэтому плоскости $ACT$ и $CMK$ перпендикулярны, и искомый угол — $\angle ACL$.

$AT=CT=3\sqrt{3}$, $AL=\frac{2}{3}AT=2\sqrt{3}$, $\cos \angle TAC=\frac{AC}{2AT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$C{L}^2=36+12-2\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=24$, $CL=2\sqrt{6}$.

$\cos \angle ACL=\frac{A{C}^2+C{L}^2-A{L}^2}{2\cdot AC\cdot CL}=\frac{36+24-12}{24\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$.