Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Для существования логарифмов необходимо: x + 3 > 0, (x + 3)² > 0, x + 2 > 0.
Совместное выполнение этих условий равносильно x > −2.
б) Равносильные преобразования. Обозначим t = log₄(x + 3). По формуле перехода к новому основанию log₀,₂₅(x + 3) = −t.
На ОДЗ x + 3 > 0, поэтому log₄((x + 3)²) = 2log₄(x + 3) = 2t.
Выражение в скобках равно (−t)² − 2t + 1 = (t − 1)².
Таким образом, исходное неравенство на ОДЗ равносильно (log₄(x + 3) − 1)² · log₄(x + 2) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы. Квадрат неотрицателен и равен нулю только при log₄(x + 3) = 1, то есть при x = 1.
Поскольку основание 4 > 1, множитель log₄(x + 2) отрицателен при −2 < x < −1, равен нулю при x = −1 и положителен при x > −1.
Критические точки на ОДЗ: −1 и 1. Знаки произведения на интервалах (−2; −1), (−1; 1), (1; +∞) соответственно: −, +, +.
Следовательно, подходят интервал (−2; −1) и обе точки −1 и 1, в которых произведение равно нулю. Точка −2 исключена по ОДЗ.
Ответ: (−2; −1] ∪ {1}.