а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:
2cos x(cos²x − 1) + √2sin²x = 0.
По тождеству cos²x − 1 = −sin²x получаем sin²x(√2 − 2cos x) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или cos x = √2/2.
Следовательно, x = πk или x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: πk, k ∈ Z; ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни на отрезке [5π/2; 4π] с помощью двойных неравенств.
Для серии x = πk: 5π/2 ≤ πk ≤ 4π, откуда 5/2 ≤ k ≤ 4. Значения k = 3 и k = 4 дают корни 3π и 4π.
Для серии x = π/4 + 2πk: 5π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ 4π, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k в этом промежутке нет.
Для серии x = −π/4 + 2πk: 5π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 4π, откуда 11/8 ≤ k ≤ 17/8. Единственное целое значение k = 2 даёт корень 15π/4.
Ответ: 3π; 15π/4; 4π.