а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решим уравнение 8·16^(sin²x) − 2·4^(cos 2x) = 63.
Все степени определены при любом x. Используем формулу cos 2x = 1 − 2sin²x:
4^(cos 2x) = 4^(1 − 2sin²x) = 4/16^(sin²x).
Пусть t = 16^(sin²x), t > 0. Тогда исходное уравнение равносильно уравнению 8t − 8/t = 63.
Умножая на t ≠ 0, получаем 8t² − 63t − 8 = 0.
D = 63² + 4·8·8 = 4225 = 65²; t = (63 ± 65)/16.
Отсюда t = 8 или t = −1/8. Второй корень не удовлетворяет условию t > 0.
16^(sin²x) = 8, поэтому 2^(4sin²x) = 2³, sin²x = 3/4.
Следовательно, sin x = ±√3/2, откуда x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.
Ответ а): ±π/3 + πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни из отрезка [7π/2; 5π] с помощью двойных неравенств.
Для x = π/3 + πk: 7π/2 ≤ π/3 + πk ≤ 5π, то есть 19/6 ≤ k ≤ 14/3.
Единственное целое значение k = 4 даёт x = 13π/3.
Для x = −π/3 + πk: 7π/2 ≤ −π/3 + πk ≤ 5π, то есть 23/6 ≤ k ≤ 16/3.
Целые значения k = 4 и k = 5 дают соответственно x = 11π/3 и x = 14π/3.
Ответ б): 11π/3; 13π/3; 14π/3.