а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы √2 sin(x + π/4) = sin x + cos x.
Подставим это выражение в уравнение и сократим одинаковые слагаемые sin x:
cos x + 2sin² x = 2.
Используя sin² x = 1 − cos² x, получаем равносильные уравнения:
cos x + 2 − 2cos² x = 2 ⇔ cos x(1 − 2cos x) = 0.
Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.
Отсюда x = π/2 + πk или x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): π/2 + πk; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни на отрезке [2π; 7π/2] с помощью двойных неравенств.
Для первой серии: 2π ≤ π/2 + πk ≤ 7π/2 ⇔ 3/2 ≤ k ≤ 3. Целые значения k: 2 и 3; корни: 5π/2 и 7π/2.
Для серии x = π/3 + 2πk: 2π ≤ π/3 + 2πk ≤ 7π/2 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Единственное целое значение k = 1; корень: 7π/3.
Для серии x = −π/3 + 2πk: 2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ 7π/2 ⇔ 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых значений k нет.
Ответ б): 7π/3; 5π/2; 7π/2.