а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем cos x:
cos x(cos 2x − 1) − √2 sin²x = 0.
По формуле cos 2x − 1 = −2sin²x получаем:
−2cos x sin²x − √2 sin²x = 0, то есть sin²x(2cos x + √2) = 0.
Произведение равно нулю, если sin x = 0 или cos x = −√2/2.
Ответ а): x = πk; x = ±3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств; в каждой серии k — целое число.
Для x = πk: −5π/2 ≤ πk ≤ −π. Отсюда −5/2 ≤ k ≤ −1, поэтому k = −2 или k = −1. Получаем x = −2π и x = −π.
Для x = 3π/4 + 2πk: −5π/2 ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −π. Отсюда −13/8 ≤ k ≤ −7/8, поэтому k = −1 и x = −5π/4.
Для x = −3π/4 + 2πk: −5π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −π. Отсюда −7/8 ≤ k ≤ −1/8. Целых чисел в этом промежутке нет.
Ответ б): −2π; −5π/4; −π.