а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: 3^(2x) + 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 > 0.
По определению логарифма исходное уравнение равносильно равенству 3^(2x) + 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 = 9^x.
Это равенство автоматически обеспечивает ОДЗ, поскольку 9^x > 0.
Так как 3^(2x) = 9^x, после сокращения получаем 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 = 0.
Используем тождество cos²x = 1 − sin²x: 6 sin²x + 5√2 sin x − 8 = 0.
Пусть t = sin x. Тогда 6t² + 5√2 t − 8 = 0. Дискриминант D = 50 + 192 = 242 = (11√2)².
Отсюда t = (−5√2 ± 11√2)/12, то есть t = √2/2 или t = −4√2/3.
Второе значение меньше −1 и невозможно. Поэтому sin x = √2/2.
Ответ а): x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для первой серии условие принадлежности отрезку имеет вид −2π ≤ π/4 + 2πk ≤ −π/2.
После деления на 2π и переноса 1/8 получаем −9/8 ≤ k ≤ −3/8. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/4.
Для второй серии: −2π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −π/2, откуда −11/8 ≤ k ≤ −5/8.
Здесь также k = −1, поэтому x = −5π/4. Обе серии перебраны полностью.
Ответ б): −7π/4; −5π/4.