а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Применим формулы sin 2x = 2sin x cos x и cos(x + π) = −cos x:
2sin x cos x − √2 cos x = 0.
Вынесем общий множитель: cos x(2sin x − √2) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = √2/2.
Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): π/2 + πk; π/4 + 2πk; 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2.
Для x = π/2 + πk получаем 5/2 ≤ k ≤ 4. Целые значения k = 3 и k = 4 дают корни 7π/2 и 9π/2.
Для x = π/4 + 2πk получаем 11/8 ≤ k ≤ 17/8. Подходит только k = 2, откуда x = 17π/4.
Для x = 3π/4 + 2πk получаем 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.
Все серии рассмотрены, поэтому других корней на отрезке нет.
Ответ б): 7π/2; 17π/4; 9π/2.