а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Применим формулу синуса суммы: 2sin(2x + π/6) = 2(sin 2x · √3/2 + cos 2x · 1/2) = √3 sin 2x + cos 2x.
Подставляя это выражение в уравнение и сокращая одинаковые слагаемые, получаем равносильное уравнение cos 2x − cos x + 1 = 0.
По формуле cos 2x = 2cos²x − 1 имеем 2cos²x − cos x = 0.
Разложим на множители: cos x(2cos x − 1) = 0. Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.
Первое уравнение даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z; второе — x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z. Все преобразования равносильны.
Ответ а): π/2 + πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни на отрезке [5π/2; 4π] с помощью двойных неравенств.
Для x = π/2 + πk: 5π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 4π ⇔ 2 ≤ k ≤ 7/2. Целые значения k = 2 и k = 3 дают 5π/2 и 7π/2.
Для x = π/3 + 2πk: 5π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 4π ⇔ 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Для x = −π/3 + 2πk: 5π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ 4π ⇔ 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 11π/3.
Ответ б): 5π/2; 7π/2; 11π/3.