а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
ОДЗ: x ∈ R, поскольку синус и косинус определены при всех действительных x.
Используем формулы sin(x + π) = −sin x и cos²x = 1 − sin²x:
2(1 − sin²x) − 3sin x − 3 = 0.
После раскрытия скобок и умножения на −1 получаем равносильное уравнение 2sin²x + 3sin x + 1 = 0.
Разложим левую часть на множители: (2sin x + 1)(sin x + 1) = 0.
Следовательно, sin x = −1 или sin x = −1/2.
Первое уравнение даёт x = −π/2 + 2πk; второе — x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): −π/2 + 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [2π; 7π/2].
Для первой серии: 2π ≤ −π/2 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 5/4 ≤ k ≤ 2. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 7π/2.
Для второй серии: 2π ≤ −π/6 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Для третьей серии: 2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 19π/6.
Ответ б): 19π/6; 7π/2.