а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: x — любое действительное число.
Умножим уравнение на положительное число 2ˣ. Получим равносильное уравнение 2⁴ˣ − 18 · 2²ˣ + 32 = 0.
Введём t = 2²ˣ, где t > 0. Тогда t² − 18t + 32 = 0.
Разложим на множители: (t − 2)(t − 16) = 0. Следовательно, t = 2 или t = 16; оба значения положительны.
Из 2²ˣ = 2 получаем 2x = 1, то есть x = 1/2.
Из 2²ˣ = 16 = 2⁴ получаем 2x = 4, то есть x = 2.
Ответ: 1/2; 2.
б) Требуется выполнить условие log₅2 ≤ x ≤ log₅20.
Поскольку показательная функция с основанием 5 возрастает, это условие равносильно неравенству 2 ≤ 5ˣ ≤ 20.
При x = 1/2 имеем 5ˣ = √5. Из 4 < 5 < 400 следует 2 < √5 < 20, поэтому корень подходит.
При x = 2 имеем 5ˣ = 25 > 20, поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
Ответ: 1/2.