а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x, поскольку показательные функции определены и 2ˣ > 0.
Положим t = 2ˣ, t > 0. Тогда 8ˣ = t³, 3·2^(x + 2) = 12t, 2^(5 − x) = 32/t.
Получаем t³ − 12t + 32/t = 0. Умножая на t > 0, получаем равносильное уравнение t⁴ − 12t² + 32 = 0.
Разложим на множители: (t² − 4)(t² − 8) = 0. Отсюда t² = 4 или t² = 8.
С учётом t > 0 имеем t = 2 или t = 2√2. Поэтому 2ˣ = 2 или 2ˣ = 2^(3/2), откуда x = 1 или x = 3/2.
Ответ а): 1; 3/2.
б) Отберём корни по условию log₄5 ≤ x ≤ √3.
Поскольку 5 > 4 и основание логарифма больше 1, log₄5 > 1. Значит, корень x = 1 не принадлежит отрезку.
Для x = 3/2: из 5 < 8 = 4^(3/2) следует log₄5 < 3/2. Кроме того, 3/2 < √3, поскольку оба числа положительны и 9/4 < 3.
Таким образом, log₄5 < 3/2 < √3, и корень 3/2 принадлежит заданному отрезку.
Ответ б): 3/2.