а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
ОДЗ: знаменатель √(11sin x) должен быть определён и отличен от нуля, поэтому 11sin x > 0, то есть sin x > 0.
На ОДЗ дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю: 9^(sin 2x) = 3^(2√2 sin x).
Поскольку 9 = 3², получаем 3^(2sin 2x) = 3^(2√2 sin x).
Показательная функция с основанием 3 строго возрастает, поэтому равенство равносильно 2sin 2x = 2√2 sin x.
Используя формулу sin 2x = 2sin x cos x, получаем 2sin x(2cos x − √2) = 0.
На ОДЗ sin x > 0, поэтому деление на 2sin x допустимо. Получаем cos x = √2/2.
Отсюда x = π/4 + 2πk или x = −π/4 + 2πk, k ∈ Z.
У первой серии sin x = √2/2 > 0, а у второй sin x = −√2/2 < 0. Следовательно, ОДЗ удовлетворяет только первая серия.
Ответ: x = π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней.
Условие принадлежности заданному отрезку: 7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ 5π.
Делим на π, вычитаем 1/4 и делим на 2: 13/8 ≤ k ≤ 19/8.
Единственное подходящее целое число — k = 2. При нём x = π/4 + 4π = 17π/4.
Ответ: 17π/4.