а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и применим тождество 1 − sin²x = cos²x:
2sin x · cos²x + √3(1 − sin²x) = 0.
Вынесем общий множитель: cos²x(2sin x + √3) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = −√3/2.
Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = −π/3 + 2πk или x = −2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: π/2 + πk, k ∈ Z; −π/3 + 2πk, k ∈ Z; −2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни на отрезке [7π/2; 5π] с помощью двойных неравенств.
Для первой серии: 7π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 5π, откуда 3 ≤ k ≤ 9/2. Целые значения k = 3 и k = 4 дают корни 7π/2 и 9π/2.
Для второй серии: 7π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ 5π, откуда 23/12 ≤ k ≤ 8/3. Единственное целое значение k = 2 даёт корень 11π/3.
Для третьей серии: 7π/2 ≤ −2π/3 + 2πk ≤ 5π, откуда 25/12 ≤ k ≤ 17/6. Целых значений k в этом промежутке нет.
Ответ: 7π/2; 11π/3; 9π/2.