Задание 14 ЕГЭ по профильной математике № M27-36

а) $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, $\cos (x+\pi )=-\cos x$. Уравнение принимает вид

$2{\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0$, $\cos x\cdot (2\cos x-\sqrt{2})=0$.

$\cos x=0$: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

б) Отбираем корни на отрезке $[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]$ (удобно по числовой окружности).

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт $-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{2}$; серия $\frac{\pi }{4}+2\pi n$ даёт $-\frac{15\pi }{4}$; из серии $-\frac{\pi }{4}+2\pi m$ ближайшие $-\frac{9\pi }{4}$ и $-\frac{17\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi }{4}+2\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$; $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{5\pi }{2}$.