а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех x ∈ R.
По формуле синуса разности sin(x − π/4) = (sin x − cos x)/√2.
Следовательно, sin²(x − π/4) = (sin²x − 2sin x cos x + cos²x)/2 = 1/2 − sin x cos x.
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем равносильное уравнение cos²x − sin x cos x = 0.
Выносим общий множитель: cos x(cos x − sin x) = 0.
Отсюда cos x = 0 или sin x = cos x.
Первое уравнение даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z. Во втором cos x ≠ 0, поэтому деление на cos x даёт tg x = 1, откуда x = π/4 + πk, k ∈ Z.
Ответ: π/4 + πk, k ∈ Z; π/2 + πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [5π; 6π].
Для первой серии: 5π ≤ π/4 + πk ≤ 6π. Делим на π и вычитаем 1/4: 19/4 ≤ k ≤ 23/4.
Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 21π/4.
Для второй серии: 5π ≤ π/2 + πk ≤ 6π. Аналогично получаем 9/2 ≤ k ≤ 11/2.
Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 11π/2.
Ответ: 21π/4; 11π/2.