а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
ОДЗ: cos x ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
Положим t = tg x. Получаем квадратное уравнение √3 · t² − 4t + √3 = 0.
Его дискриминант D = (−4)² − 4 · √3 · √3 = 4.
Следовательно, t = (4 ± 2)/(2√3), то есть t = √3 или t = 1/√3.
Из tg x = √3 получаем x = π/3 + πk, k ∈ Z.
Из tg x = 1/√3 получаем x = π/6 + πk, k ∈ Z.
Обе серии удовлетворяют ОДЗ: косинусы этих углов не равны нулю.
Ответ а): π/3 + πk; π/6 + πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [π; 5π/2].
Для первой серии: π ≤ π/3 + πk ≤ 5π/2, откуда 2/3 ≤ k ≤ 13/6. Поэтому k = 1 или k = 2; получаем x = 4π/3 и x = 7π/3.
Для второй серии: π ≤ π/6 + πk ≤ 5π/2, откуда 5/6 ≤ k ≤ 7/3. Поэтому k = 1 или k = 2; получаем x = 7π/6 и x = 13π/6.
Ответ б): 7π/6; 4π/3; 13π/6; 7π/3.