а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и применим тождество sin² x − 1 = −cos² x:
2sin x(sin² x − 1) − √2 cos² x = 0.
−cos² x(2sin x + √2) = 0.
Произведение равно нулю, если cos x = 0 или sin x = −√2/2.
Первое уравнение даёт x = π/2 + πk; второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: π/2 + πk, k ∈ Z; −π/4 + 2πk, k ∈ Z; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = π/2 + πk: −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3. Целые значения: k = −4, −3; корни: −7π/2 и −5π/2.
Для x = −π/4 + 2πk: −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.
Для x = −3π/4 + 2πk: −4π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −13/8 ≤ k ≤ −7/8. Подходит только k = −1, получаем −11π/4.
Ответ: −7π/2; −11π/4; −5π/2.