Задание 14 ЕГЭ по профильной математике

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам синуса суммы и приведения sin(x + π/6) = (√3/2)sin x + (1/2)cos x, sin(π − x) = sin x.

Подставляя эти выражения, получаем равносильное уравнение √3 sin x + cos x − 2√3 sin x = 0, то есть cos x − √3 sin x = 0.

По формуле косинуса суммы cos x − √3 sin x = 2cos(x + π/3).

Следовательно, cos(x + π/3) = 0, откуда x + π/3 = π/2 + πk, k ∈ Z.

Ответ а): x = π/6 + πk, k ∈ Z.

б) Для отбора корней решим двойное неравенство 7π ≤ π/6 + πk ≤ 17π/2.

Делим на положительное число π и вычитаем 1/6: 41/6 ≤ k ≤ 25/3.

Целые числа в этом промежутке: k = 7 и k = 8. Они дают соответственно x = 43π/6 и x = 49π/6.

Ответ б): 43π/6; 49π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам косинуса разности и приведения cos(x − π/4) = (√2/2)(cos x + sin x), sin(3π/2 − x) = −cos x.

После подстановки получаем равносильное уравнение 2√2(cos x + sin x) − 2√2 cos x = √6.

Приводим подобные слагаемые: 2√2 sin x = √6. Делим на 2√2: sin x = √3/2.

Синус равен √3/2 при x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): π/3 + 2πk, k ∈ Z; 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для первой серии решаем неравенство 4π ≤ π/3 + 2πk ≤ 11π/2.

После деления на π, вычитания 1/3 и деления на 2 получаем 11/6 ≤ k ≤ 31/12. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 13π/3.

Для второй серии решаем неравенство 4π ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 11π/2.

Аналогично получаем 5/3 ≤ k ≤ 29/12. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 14π/3.

Таким образом, обе серии дают ровно два корня на указанном отрезке.

Ответ б): 13π/3; 14π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы √2 sin(x + π/4) = sin x + cos x.

Подставляя это выражение и вычитая cos x из обеих частей, получаем равносильное уравнение 2sin²x + sin x = 0.

Выносим общий множитель: sin x(2sin x + 1) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или sin x = −1/2.

Из первого уравнения x = πk; из второго x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): πk, k ∈ Z; −π/6 + 2πk, k ∈ Z; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2.

Для x = πk: −2 ≤ k ≤ −1/2. Целые значения k: −2, −1; получаем x = −2π, −π.

Для x = −π/6 + 2πk: −2π ≤ −π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −11/12 ≤ k ≤ −1/6. Целых значений k нет.

Для x = −5π/6 + 2πk: −2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/12 ≤ k ≤ 1/6. Подходит только k = 0, поэтому x = −5π/6.

Ответ б): −2π; −π; −5π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам приведения sin(3π/2 + x) = −cos x и cos(π − x) = −cos x.

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению 2cos²x − cos x = 0.

Выносим общий множитель: cos x(2cos x − 1) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или cos x = 1/2.

Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): π/2 + πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2.

Для x = π/2 + πk: −2π ≤ π/2 + πk ≤ −π/2, откуда −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения k: −2, −1; получаем x = −3π/2, −π/2.

Для x = π/3 + 2πk: −2π ≤ π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Подходит только k = −1, поэтому x = −5π/3.

Для x = −π/3 + 2πk: −2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.

Ответ б): −5π/3; −3π/2; −π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле косинуса разности 2√2 cos(x − π/4) = 2(sin x + cos x).

Кроме того, sin 2x + 1 = sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = (sin x + cos x)².

Поэтому исходное уравнение равносильно (sin x + cos x)² + 2(sin x + cos x) = 0.

Обозначим t = sin x + cos x. Тогда t(t + 2) = 0, откуда t = 0 или t = −2.

Поскольку sin x + cos x = √2 sin(x + π/4), имеем −√2 ≤ t ≤ √2. Значение t = −2 невозможно.

Следовательно, sin(x + π/4) = 0, то есть x + π/4 = πk, k ∈ Z.

Ответ а): x = −π/4 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойного неравенства: −15π/2 ≤ −π/4 + πk ≤ −6π.

Разделив на π и прибавив 1/4, получим −29/4 ≤ k ≤ −23/4.

Целые значения в этих границах: k = −7 и k = −6. Соответствующие корни: −29π/4 и −25π/4.

Ответ б): −29π/4; −25π/4.

а) ОДЗ: 3^(2x) + 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 > 0.

По определению логарифма исходное уравнение равносильно равенству 3^(2x) + 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 = 9^x.

Это равенство автоматически обеспечивает ОДЗ, поскольку 9^x > 0.

Так как 3^(2x) = 9^x, после сокращения получаем 5√2 sin x − 6 cos²x − 2 = 0.

Используем тождество cos²x = 1 − sin²x: 6 sin²x + 5√2 sin x − 8 = 0.

Пусть t = sin x. Тогда 6t² + 5√2 t − 8 = 0. Дискриминант D = 50 + 192 = 242 = (11√2)².

Отсюда t = (−5√2 ± 11√2)/12, то есть t = √2/2 или t = −4√2/3.

Второе значение меньше −1 и невозможно. Поэтому sin x = √2/2.

Ответ а): x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для первой серии условие принадлежности отрезку имеет вид −2π ≤ π/4 + 2πk ≤ −π/2.

После деления на 2π и переноса 1/8 получаем −9/8 ≤ k ≤ −3/8. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/4.

Для второй серии: −2π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −π/2, откуда −11/8 ≤ k ≤ −5/8.

Здесь также k = −1, поэтому x = −5π/4. Обе серии перебраны полностью.

Ответ б): −7π/4; −5π/4.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле приведения sin(π + x) = −sin x. Разделив обе части уравнения на 2, получим:

sin(x + π/3) − sin x = 0.

Применим формулу разности синусов:

2cos(x + π/6)sin(π/6) = 0.

Так как 2sin(π/6) = 1, получаем cos(x + π/6) = 0.

Следовательно, x + π/6 = π/2 + πk, k ∈ Z, откуда x = π/3 + πk.

Ответ: π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойного неравенства:

5π ≤ π/3 + πk ≤ 13π/2.

Разделив на положительное число π и вычтя 1/3, получим 14/3 ≤ k ≤ 37/6.

Целые числа в этом промежутке: k = 5 и k = 6. Им соответствуют x = 16π/3 и x = 19π/3.

Ответ: 16π/3; 19π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы 2sin(2x + π/6) = √3 sin 2x + cos 2x.

Подставим это выражение в уравнение и сократим одинаковые слагаемые в обеих частях:

sin x + cos 2x = 1.

Используя формулу cos 2x = 1 − 2sin²x, получаем sin x − 2sin²x = 0.

Разложим левую часть на множители: sin x(1 − 2sin x) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или sin x = 1/2.

Первое уравнение даёт x = πk; второе — x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство, задающее принадлежность отрезку.

Для x = πk: −7π/2 ≤ πk ≤ −2π, откуда −7/2 ≤ k ≤ −2.

Поэтому k = −3 или k = −2; получаем корни −3π и −2π.

Для x = π/6 + 2πk: −7/2 ≤ 1/6 + 2k ≤ −2, откуда −11/6 ≤ k ≤ −13/12.

Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому данная серия корней не даёт.

Для x = 5π/6 + 2πk: −7/2 ≤ 5/6 + 2k ≤ −2, откуда −13/6 ≤ k ≤ −17/12.

Единственное целое число в этом промежутке — k = −2. Получаем x = 5π/6 − 4π = −19π/6.

Ответ: −19π/6; −3π; −2π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем нечётность синуса, чётность косинуса и формулу sin 2x = 2 sin x cos x:

2 sin x cos x + sin x + 2 cos x + 1 = 0.

Группируя слагаемые, получаем равносильное уравнение:

(sin x + 1)(2 cos x + 1) = 0.

Следовательно, sin x = −1 или cos x = −1/2.

Ответ а): x = −π/2 + 2πk или x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = −π/2 + 2πk условие 3π/2 ≤ −π/2 + 2πk ≤ 3π равносильно 1 ≤ k ≤ 7/4. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 3π/2.

Для x = 2π/3 + 2πk получаем 3π/2 ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 3π, откуда 5/12 ≤ k ≤ 7/6. При k = 1 получаем x = 8π/3.

Для x = −2π/3 + 2πk получаем 3π/2 ≤ −2π/3 + 2πk ≤ 3π, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Ответ б): 3π/2; 8π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём правую часть влево и используем тождество cos² x − 1 = −sin² x:

2 sin² x cos x + √2(cos² x − 1) = 0.

Вынося sin² x за скобки, получаем равносильное уравнение:

sin² x(2 cos x − √2) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или cos x = √2/2.

Ответ а): x = πk или x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = πk условие −7π/2 ≤ πk ≤ −2π равносильно −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения k = −3 и k = −2 дают x = −3π и x = −2π.

Для x = π/4 + 2πk получаем −7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ −2π, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.

Для x = −π/4 + 2πk получаем −7π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ −2π, откуда −13/8 ≤ k ≤ −7/8. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −9π/4.

Ответ б): −3π; −9π/4; −2π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулы sin 2x = 2sin x cos x и cos(x + π) = −cos x:

2sin x cos x − √2 cos x = 0.

Вынесем общий множитель: cos x(2sin x − √2) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = √2/2.

Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): π/2 + πk; π/4 + 2πk; 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2.

Для x = π/2 + πk получаем 5/2 ≤ k ≤ 4. Целые значения k = 3 и k = 4 дают корни 7π/2 и 9π/2.

Для x = π/4 + 2πk получаем 11/8 ≤ k ≤ 17/8. Подходит только k = 2, откуда x = 17π/4.

Для x = 3π/4 + 2πk получаем 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.

Все серии рассмотрены, поэтому других корней на отрезке нет.

Ответ б): 7π/2; 17π/4; 9π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем нечётность синуса sin(−x) = −sin x и тождество cos² x = 1 − sin² x:

2sin x − 2√3 sin x − 4(1 − sin² x) = √3 − 4.

После раскрытия скобок и переноса слагаемых получаем равносильное уравнение:

4sin² x + (2 − 2√3)sin x − √3 = 0.

Разложим левую часть на множители: (2sin x − √3)(2sin x + 1) = 0.

Следовательно, sin x = √3/2 или sin x = −1/2.

Первое уравнение даёт x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk; второе — x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 2π ≤ x ≤ 7π/2.

Для x = π/3 + 2πk получаем 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Подходит только k = 1, поэтому x = 7π/3.

Для x = 2π/3 + 2πk получаем 2/3 ≤ k ≤ 17/12. Подходит только k = 1, поэтому x = 8π/3.

Для x = −π/6 + 2πk получаем 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Для x = −5π/6 + 2πk получаем 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Подходит только k = 2, поэтому x = 19π/6.

Все серии рассмотрены, поэтому отбор корней завершён.

Ответ б): 7π/3; 8π/3; 19π/6.

а) Знаменатель √(7sin x) должен быть определён и отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sin x > 0.

На ОДЗ дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю: 4^(sin 2x) = 2^(2√3 sin x).

Представим 4 как 2². Поскольку показательная функция с основанием 2 возрастает, получаем равносильное уравнение: 2sin 2x = 2√3 sin x.

По формуле sin 2x = 2sin x cos x имеем sin x(2cos x − √3) = 0.

По ОДЗ sin x > 0, поэтому cos x = √3/2. Отсюда x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Для x = π/6 + 2πk синус равен 1/2, а для x = −π/6 + 2πk он равен −1/2. ОДЗ удовлетворяет только первая серия.

Ответ а): π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни двойным неравенством: −13π/2 ≤ π/6 + 2πk ≤ −5π.

Вычитая π/6 и деля на 2π > 0, получаем −10/3 ≤ k ≤ −31/12. Единственное целое значение — k = −3.

Тогда x = π/6 − 6π = −35π/6.

Ответ б): −35π/6.

а) Все выражения определены при любом действительном x.

Используем формулу 2sin²x = 1 − cos 2x: 16^(sin²x) = 4^(2sin²x) = 4^(1 − cos 2x).

Положим t = 4^(cos 2x), t > 0. Тогда 4^(1 − cos 2x) = 4/t, и исходное уравнение принимает вид 16/t − 6t = 29.

Умножение на t > 0 даёт равносильное уравнение 6t² + 29t − 16 = 0.

Разложим на множители: (2t − 1)(3t + 16) = 0. Получаем t = 1/2 или t = −16/3; второе значение не подходит, поскольку t > 0.

Следовательно, 4^(cos 2x) = 1/2 = 4^(−1/2). По строгой монотонности показательной функции cos 2x = −1/2.

Отсюда 2x = ±2π/3 + 2πk, то есть x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ а): ±π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Для серии x = π/3 + πk условие принадлежности отрезку имеет вид 3π/2 ≤ π/3 + πk ≤ 3π.

Отсюда 7/6 ≤ k ≤ 8/3, поэтому k = 2 и x = 7π/3.

Для серии x = −π/3 + πk получаем 3π/2 ≤ −π/3 + πk ≤ 3π, откуда 11/6 ≤ k ≤ 10/3.

Следовательно, k = 2 или k = 3, что даёт x = 5π/3 или x = 8π/3. Обе серии рассмотрены, поэтому других корней на отрезке нет.

Ответ б): 5π/3; 7π/3; 8π/3.

а) ОДЗ: sin x > 0 и 2cos x − √3 ≠ 0.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Положим t = log₂(sin x). Тогда t² + t = 0, то есть t(t + 1) = 0.

Отсюда t = 0 или t = −1, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.

При sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk, k ∈ Z. Знаменатель равен −√3 ≠ 0, поэтому все эти корни подходят.

При sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Для x = π/6 + 2πk знаменатель равен 2 · √3/2 − √3 = 0, поэтому эта серия исключается.

Для x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен 2 · (−√3/2) − √3 = −2√3 ≠ 0. Условие sin x > 0 также выполнено.

Ответ а): π/2 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для первой серии: π/2 ≤ π/2 + 2πk ≤ 2π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3/4. Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/2.

Для второй серии: π/2 ≤ 5π/6 + 2πk ≤ 2π ⇔ −1/6 ≤ k ≤ 7/12. Единственное целое значение k = 0 даёт x = 5π/6.

Ответ б): π/2; 5π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулу синуса суммы: 2sin(2x + π/6) = 2(sin 2x · √3/2 + cos 2x · 1/2) = √3 sin 2x + cos 2x.

Подставляя это выражение в уравнение и сокращая одинаковые слагаемые, получаем равносильное уравнение cos 2x − cos x + 1 = 0.

По формуле cos 2x = 2cos²x − 1 имеем 2cos²x − cos x = 0.

Разложим на множители: cos x(2cos x − 1) = 0. Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.

Первое уравнение даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z; второе — x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z. Все преобразования равносильны.

Ответ а): π/2 + πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни на отрезке [5π/2; 4π] с помощью двойных неравенств.

Для x = π/2 + πk: 5π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 4π ⇔ 2 ≤ k ≤ 7/2. Целые значения k = 2 и k = 3 дают 5π/2 и 7π/2.

Для x = π/3 + 2πk: 5π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 4π ⇔ 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Для x = −π/3 + 2πk: 5π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ 4π ⇔ 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 11π/3.

Ответ б): 5π/2; 7π/2; 11π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и применим тождество sin² x − 1 = −cos² x:

2sin x(sin² x − 1) − √2 cos² x = 0.

−cos² x(2sin x + √2) = 0.

Произведение равно нулю, если cos x = 0 или sin x = −√2/2.

Первое уравнение даёт x = π/2 + πk; второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: π/2 + πk, k ∈ Z; −π/4 + 2πk, k ∈ Z; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = π/2 + πk: −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3. Целые значения: k = −4, −3; корни: −7π/2 и −5π/2.

Для x = −π/4 + 2πk: −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.

Для x = −3π/4 + 2πk: −4π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −13/8 ≤ k ≤ −7/8. Подходит только k = −1, получаем −11π/4.

Ответ: −7π/2; −11π/4; −5π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x. Поскольку 3^x > 0, умножение обеих частей на 3^x является равносильным переходом:

3^(4x) − 4·3^(2x + 2) + 3⁵ = 0.

Введём t = 3^(2x), где t > 0. Получим квадратное уравнение:

t² − 36t + 243 = 0.

(t − 9)(t − 27) = 0, поэтому t = 9 или t = 27. Оба значения положительны.

3^(2x) = 3² или 3^(2x) = 3³. Показательная функция с основанием 3 строго возрастает, поэтому 2x = 2 или 2x = 3.

Ответ: 1; 1,5.

б) Проверим принадлежность каждого корня отрезку [log₇ 4; log₇ 16].

Так как 4 < 7 < 16 и логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, log₇ 4 < 1 < log₇ 16. Значит, корень 1 принадлежит отрезку.

Для второго корня сравним 7^(3/2) и 16. Оба числа положительны, а их квадраты удовлетворяют неравенству 7³ = 343 > 256 = 16².

Следовательно, 7^(3/2) > 16, поэтому 3/2 > log₇ 16. Корень 1,5 лежит правее отрезка.

Ответ: 1.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы 2sin(x + π/3) = sin x + √3 cos x. Поэтому исходное уравнение равносильно:

sin x + √3 cos x − √3 cos 2x = sin x + √3;

cos x − cos 2x − 1 = 0.

Применим формулу cos 2x = 2cos²x − 1:

cos x − 2cos²x = 0;

cos x(1 − 2cos x) = 0.

Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.

Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z; x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = π/2 + πk: −2π ≤ π/2 + πk ≤ −π/2, откуда −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения k: −2, −1; получаем −3π/2 и −π/2.

Для x = π/3 + 2πk: −2π ≤ π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Подходит только k = −1; получаем −5π/3.

Для x = −π/3 + 2πk: −2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.

Ответ: −5π/3; −3π/2; −π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

2cos x(1 − cos²x) − √3 sin²x = 0.

По основному тригонометрическому тождеству 1 − cos²x = sin²x. Получаем равносильное уравнение:

sin²x(2cos x − √3) = 0.

Произведение равно нулю, если sin x = 0 или cos x = √3/2.

Отсюда x = πk или x = ±π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = πk, k ∈ Z; x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = πk: −7π/2 ≤ πk ≤ −2π, откуда −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения k: −3, −2; получаем −3π и −2π.

Для x = π/6 + 2πk: −7π/2 ≤ π/6 + 2πk ≤ −2π, откуда −11/6 ≤ k ≤ −13/12. Целых значений k нет.

Для x = −π/6 + 2πk: −7π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ −2π, откуда −5/3 ≤ k ≤ −11/12. Подходит только k = −1; получаем −13π/6.

Ответ: −3π; −13π/6; −2π.