а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы √2 sin(x + π/4) = sin x + cos x.
Подставляя это выражение и вычитая cos x из обеих частей, получаем равносильное уравнение 2sin²x + sin x = 0.
Выносим общий множитель: sin x(2sin x + 1) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или sin x = −1/2.
Из первого уравнения x = πk; из второго x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): πk, k ∈ Z; −π/6 + 2πk, k ∈ Z; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2.
Для x = πk: −2 ≤ k ≤ −1/2. Целые значения k: −2, −1; получаем x = −2π, −π.
Для x = −π/6 + 2πk: −2π ≤ −π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −11/12 ≤ k ≤ −1/6. Целых значений k нет.
Для x = −5π/6 + 2πk: −2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/12 ≤ k ≤ 1/6. Подходит только k = 0, поэтому x = −5π/6.
Ответ б): −2π; −π; −5π/6.