а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам приведения sin(3π/2 + x) = −cos x и cos(π − x) = −cos x.
Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению 2cos²x − cos x = 0.
Выносим общий множитель: cos x(2cos x − 1) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или cos x = 1/2.
Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): π/2 + πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2.
Для x = π/2 + πk: −2π ≤ π/2 + πk ≤ −π/2, откуда −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения k: −2, −1; получаем x = −3π/2, −π/2.
Для x = π/3 + 2πk: −2π ≤ π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Подходит только k = −1, поэтому x = −5π/3.
Для x = −π/3 + 2πk: −2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.
Ответ б): −5π/3; −3π/2; −π/2.