а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле косинуса разности 2√2 cos(x − π/4) = 2(sin x + cos x).
Кроме того, sin 2x + 1 = sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = (sin x + cos x)².
Поэтому исходное уравнение равносильно (sin x + cos x)² + 2(sin x + cos x) = 0.
Обозначим t = sin x + cos x. Тогда t(t + 2) = 0, откуда t = 0 или t = −2.
Поскольку sin x + cos x = √2 sin(x + π/4), имеем −√2 ≤ t ≤ √2. Значение t = −2 невозможно.
Следовательно, sin(x + π/4) = 0, то есть x + π/4 = πk, k ∈ Z.
Ответ а): x = −π/4 + πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойного неравенства: −15π/2 ≤ −π/4 + πk ≤ −6π.
Разделив на π и прибавив 1/4, получим −29/4 ≤ k ≤ −23/4.
Целые значения в этих границах: k = −7 и k = −6. Соответствующие корни: −29π/4 и −25π/4.
Ответ б): −29π/4; −25π/4.