а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам косинуса разности и приведения cos(x − π/4) = (√2/2)(cos x + sin x), sin(3π/2 − x) = −cos x.
После подстановки получаем равносильное уравнение 2√2(cos x + sin x) − 2√2 cos x = √6.
Приводим подобные слагаемые: 2√2 sin x = √6. Делим на 2√2: sin x = √3/2.
Синус равен √3/2 при x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): π/3 + 2πk, k ∈ Z; 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для первой серии решаем неравенство 4π ≤ π/3 + 2πk ≤ 11π/2.
После деления на π, вычитания 1/3 и деления на 2 получаем 11/6 ≤ k ≤ 31/12. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 13π/3.
Для второй серии решаем неравенство 4π ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 11π/2.
Аналогично получаем 5/3 ≤ k ≤ 29/12. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 14π/3.
Таким образом, обе серии дают ровно два корня на указанном отрезке.
Ответ б): 13π/3; 14π/3.