а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы 2sin(x + π/3) = sin x + √3 cos x. Поэтому исходное уравнение равносильно:
sin x + √3 cos x − √3 cos 2x = sin x + √3;
cos x − cos 2x − 1 = 0.
Применим формулу cos 2x = 2cos²x − 1:
cos x − 2cos²x = 0;
cos x(1 − 2cos x) = 0.
Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.
Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z; x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = π/2 + πk: −2π ≤ π/2 + πk ≤ −π/2, откуда −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения k: −2, −1; получаем −3π/2 и −π/2.
Для x = π/3 + 2πk: −2π ≤ π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Подходит только k = −1; получаем −5π/3.
Для x = −π/3 + 2πk: −2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −π/2, откуда −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.
Ответ: −5π/3; −3π/2; −π/2.