а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: sin x > 0 и 2cos x − √3 ≠ 0.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Положим t = log₂(sin x). Тогда t² + t = 0, то есть t(t + 1) = 0.
Отсюда t = 0 или t = −1, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.
При sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk, k ∈ Z. Знаменатель равен −√3 ≠ 0, поэтому все эти корни подходят.
При sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Для x = π/6 + 2πk знаменатель равен 2 · √3/2 − √3 = 0, поэтому эта серия исключается.
Для x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен 2 · (−√3/2) − √3 = −2√3 ≠ 0. Условие sin x > 0 также выполнено.
Ответ а): π/2 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для первой серии: π/2 ≤ π/2 + 2πk ≤ 2π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3/4. Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/2.
Для второй серии: π/2 ≤ 5π/6 + 2πk ≤ 2π ⇔ −1/6 ≤ k ≤ 7/12. Единственное целое значение k = 0 даёт x = 5π/6.
Ответ б): π/2; 5π/6.