а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам cos(π − 2x) = −cos 2x и 1 + cos 2x = 2cos²x имеем 2 − 2cos(π − 2x) = 4cos²x.
Учитывая √8 = 2√2 и √12 = 2√3, получаем равносильное уравнение:
4cos²x + (2√2 − 2√3)cos x − √6 = 0.
Разложим левую часть на множители:
(2cos x − √3)(2cos x + √2) = 0.
Следовательно, cos x = √3/2 или cos x = −√2/2.
Ответ а): x = ±π/6 + 2πk; x = ±3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2.
Для x = π/6 + 2πk:
3π ≤ π/6 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 17/12 ≤ k ≤ 13/6.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 25π/6.
Для x = −π/6 + 2πk:
3π ≤ −π/6 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 19/12 ≤ k ≤ 7/3.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 23π/6.
Для x = 3π/4 + 2πk:
3π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 9/8 ≤ k ≤ 15/8.
Целых значений k нет, поэтому эта серия корней на отрезке не даёт.
Для x = −3π/4 + 2πk:
3π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 15/8 ≤ k ≤ 21/8.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 13π/4.
Ответ б): 13π/4; 23π/6; 25π/6.