а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам sin(π/2 + x) = cos x и cos 2x = 2cos²x − 1 получаем равносильное уравнение:
2cos²x − 1 + √3 cos x + 1 = 0.
Выносим общий множитель: cos x(2cos x + √3) = 0.
Следовательно, cos x = 0 или cos x = −√3/2.
Ответ а): x = π/2 + πk; x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств; в каждой серии k — целое число.
Для x = π/2 + πk: −3π ≤ π/2 + πk ≤ −3π/2. Отсюда −7/2 ≤ k ≤ −2, поэтому k = −3 или k = −2. Получаем x = −5π/2 и x = −3π/2.
Для x = 5π/6 + 2πk: −3π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −3π/2. Отсюда −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых чисел в этом промежутке нет.
Для x = −5π/6 + 2πk: −3π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −3π/2. Отсюда −13/12 ≤ k ≤ −1/3, поэтому k = −1 и x = −17π/6.
Ответ б): −17π/6; −5π/2; −3π/2.