а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0, то есть cos x ≠ −√3/2.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
На ОДЗ получаем (log₂(sin x))² + log₂(sin x) = 0.
Обозначим t = log₂(sin x). Тогда t² + t = t(t + 1) = 0, поэтому t = 0 или t = −1.
Если log₂(sin x) = 0, то sin x = 1, откуда x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Для этих значений sin x = 1 > 0 и 2cos x + √3 = √3 ≠ 0, поэтому все они подходят.
Если log₂(sin x) = −1, то sin x = 1/2.
Отсюда x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
При x = π/6 + 2πk знаменатель равен 2√3 ≠ 0, поэтому эта серия подходит.
При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен −√3 + √3 = 0, поэтому вся эта серия исключается по ОДЗ.
Ответ а): π/6 + 2πk, k ∈ Z; π/2 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни из отрезка [0; 3π/2].
Для первой серии: 0 ≤ π/6 + 2πk ≤ 3π/2, откуда −1/12 ≤ k ≤ 2/3.
Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/6.
Для второй серии: 0 ≤ π/2 + 2πk ≤ 3π/2, откуда −1/4 ≤ k ≤ 1/2.
Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/2.
Ответ б): π/6; π/2.