а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Сгруппируем первое и третье слагаемые: sin x(cos 2x + 1) + √2 cos² x = 0.
По формуле cos 2x + 1 = 2cos² x получаем равносильное уравнение:
cos² x(2sin x + √2) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = −√2/2.
Из первого уравнения x = π/2 + πk, k ∈ Z.
Из второго уравнения x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): π/2 + πk; −π/4 + 2πk; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни на отрезке [3π/2; 3π] с помощью двойных неравенств.
Для первой серии: 3π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 3π ⇔ 1 ≤ k ≤ 5/2. Целые значения k: 1 и 2; корни: 3π/2 и 5π/2.
Для второй серии: 3π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 3π ⇔ 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Единственное целое значение k = 1; корень: 7π/4.
Для третьей серии: 3π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 3π ⇔ 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.
Ответ б): 3π/2; 7π/4; 5π/2.