В основании прямой призмы лежит равнобедренный
треугольник с основанием Точка делит ребро
в отношении а точка середина ребра
Через середину ребра провели плоскость перпендикулярную отрезку
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок считая от точки если известно, что
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: начало — середина AB, ось x направлена к B, ось y — к C, ось z параллельна AA₁. Это возможно, поскольку в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, а призма прямая.
Пусть AB = 2a, высота треугольника ABC равна h, высота призмы равна H, где a, h, H > 0. Тогда A(−a; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; h; 0).
Из AP : PB = 1 : 3 получаем P(−a/2; 0; 0). Поскольку Q — середина A₁C₁, имеем Q(−a/2; h/2; H). Кроме того, M(a/2; h/2; 0).
Вектор PQ имеет координаты (0; h/2; H). Так как α проходит через M и перпендикулярна PQ, её уравнение: (h/2)(y − h/2) + Hz = 0. Действительно, это равенство выражает перпендикулярность векторов MX и PQ для любой точки X плоскости.
Направляющий вектор AB равен (2a; 0; 0), его скалярное произведение с PQ равно нулю. При этом ни одна точка прямой AB не принадлежит α: подстановка y = z = 0 даёт −h²/4 ≠ 0. Следовательно, AB ∥ α.
Ответ к а): плоскость α параллельна ребру AB.
б) По условию H = AB = 2a, а BC = 5a. Из прямоугольного треугольника с катетами a и h получаем h² = BC² − a² = 25a² − a² = 24a².
Обозначим точку пересечения PQ с α через K. Введём t = PK/PQ. Точки прямой PQ имеют координаты K(−a/2; th/2; tH).
Подставляя координаты K в уравнение α, получаем (h²/4)(t − 1) + tH² = 0, откуда t = h²/(h² + 4H²).
Следовательно, t = 24a²/(24a² + 16a²) = 3/5. Поскольку 0 < t < 1, точка K лежит внутри отрезка PQ, и PK : KQ = t : (1 − t) = 3 : 2.
Ответ к б): 3 : 2.