Периметр треугольника равен 36. Точки и — середины сторон и соответственно. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим AC = b, высоту из B через h, радиус вписанной окружности через r, её центр через I.
По теореме о средней линии EF ∥ AC, а расстояние между прямыми EF и AC равно h/2.
Окружность касается обеих этих прямых. Её центр находится между ними: иначе расстояния от I до двух различных параллельных прямых не могли бы быть равны. Поэтому h/2 = 2r, то есть h = 4r.
Полупериметр треугольника равен 18. По формуле площади через радиус вписанной окружности S = 18r.
С другой стороны, S = bh/2 = 2br. Следовательно, 18r = 2br. Поскольку r > 0, получаем b = 9.
Ответ: а) AC = 9, что и требовалось доказать.
б) Пусть BC = x. По условию угол C прямой, поэтому по теореме Пифагора AB = √(x² + 81).
Из условия о периметре: x + √(x² + 81) + 9 = 36, откуда √(x² + 81) = 27 − x.
Возводя в квадрат, получаем x² + 81 = 729 − 54x + x², поэтому x = 12. Тогда AB = 15; равенство 9 + 12 + 15 = 36 подтверждает условие.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = 9 · 12/2 = 54.
Ответ: б) 54.