Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:
1/x + 2 > 0, x + 5 > 0, (x + 4)/x² > 0.
Первое условие даёт x ∈ (−∞; −1/2) ∪ (0; +∞), второе — x > −5, третье — x > −4 при x ≠ 0.
Следовательно, ОДЗ: x ∈ (−4; −1/2) ∪ (0; +∞).
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ объединяем разность логарифмов. Поскольку основание 3 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно:
(2x + 1)/(x(x + 5)) ≥ (x + 4)/x².
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю:
[x(2x + 1) − (x + 4)(x + 5)]/[x²(x + 5)] ≥ 0.
Раскрывая скобки и раскладывая числитель на множители, получаем (x − 10)(x + 2)/[x²(x + 5)] ≥ 0.
На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому равносильно решаем (x − 10)(x + 2) ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы. Нули произведения: −2 и 10. Его знаки на интервалах (−∞; −2), (−2; 10), (10; +∞) соответственно: +, −, +.
Получаем x ≤ −2 или x ≥ 10. Пересекаем с ОДЗ: точка −4 исключена, точки −2 и 10 входят, так как принадлежат ОДЗ и обращают неравенство в равенство.
Ответ: (−4; −2] ∪ [10; +∞).