Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1
б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если , и площадь треугольника АВ1С1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме равны 180°, поэтому ∠BC₁B₁ + ∠BCB₁ = 180°.
Поскольку A, C₁, B лежат на одной прямой, ∠AC₁B₁ + ∠BC₁B₁ = 180°. Следовательно, ∠AC₁B₁ = ∠BCB₁ = ∠BCA.
Кроме того, ∠B₁AC₁ = ∠BAC. Значит, треугольники ABC и AB₁C₁ подобны по двум углам, причём B соответствует B₁, а C соответствует C₁.
Ответ: подобие доказано.
б) Пусть площадь треугольника AB₁C₁ равна S. Тогда площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 4S, а площадь треугольника ABC равна 5S.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому AB₁/AB = AC₁/AC = B₁C₁/BC = 1/√5.
Следовательно, B₁C₁ = 5√5/√5 = 5.
Обозначим AB = p. Тогда AB₁ = p/√5. В треугольнике ABB₁ угол BAB₁ равен 150°. По теореме косинусов BB₁² = p² + p²/5 − 2p² · cos150°/√5 = p²(6 + √15)/5.
Отсюда BB₁ = p√(6 + √15)/√5.
По теореме синусов в треугольнике ABC: sin∠ACB = AB · sin150°/BC = p/(10√5).
Угол BCB₁ равен углу ACB. По теореме синусов в треугольнике BCB₁ радиус данной окружности равен R = BB₁/(2sin∠BCB₁).
Подставляя найденные выражения, получаем R = (p√(6 + √15)/√5)/(p/(5√5)) = 5√(6 + √15).
Ответ: B₁C₁ = 5; R = 5√(6 + √15).