Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение
стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если , а .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Четырёхугольник ABMD вписан в окружность, причём BM ∥ AD. Следовательно, он является вписанной трапецией.
Вписанная трапеция равнобедренная: её противоположные углы в сумме дают 180°, а из параллельности оснований следует равенство углов при каждом основании. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому AM = BD.
Четырёхугольник ABDN также является вписанной трапецией, поскольку AB ∥ DN. Она равнобедренная, поэтому её боковые стороны AN и BD равны.
Таким образом, AM = BD = AN.
Ответ: AM = AN, что и требовалось доказать.
б) Пусть AB = a, тогда AD = BC = 2a. Обозначим ∠BAD = θ, cos θ = 2/3.
Опустим из D перпендикуляр DP на прямую AB. В прямоугольном треугольнике ADP получаем AP = AD cos θ = 2a · 2/3 = 4a/3.
Следовательно, P лежит за точкой B, а BP = AP − AB = a/3.
В равнобедренной трапеции ABDN основания AB и DN симметричны относительно общей перпендикулярной оси, проходящей через их середины. Поэтому выступы большего основания за меньшее равны BP = a/3.
Отсюда DN = AB + 2BP = a + 2a/3 = 5a/3. Поскольку CD = AB = a, имеем CD : DN = a : (5a/3) = 3 : 5.
Ответ: 3 : 5.