Задание 16 ЕГЭ по профильной математике № M27-40

Выражение определено при ${\log }_{2}x>0$, то есть при $x>1$.

Тогда $2^{{\log }_2({\log }_{2}x)}={\log }_{2}x$, а ${\log }_4^{2}x={\left(\frac{1}{2}{\log }_{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{\log }_2^{2}x$.

Пусть $t={\log }_{2}x>0$: $t+\frac{t^2}{4}-3\le 0$, $t^2+4t-12\le 0$, $(t+6)(t-2)\le 0$.

Так как $t+6>0$, получаем $t\le 2$: $0<{\log }_{2}x\le 2$, $1<x\le 4$.

Ответ: $(1;4]$.