В квадрате точки и середины сторон и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника если сторона
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим сторону квадрата через a. Прямоугольные треугольники CBM и DCN равны по двум катетам: CB = DC = a, BM = CN = a/2.
Следовательно, ∠BCM = ∠CDN. Так как BC ⟂ CD, равенство этих углов означает, что CM ⟂ DN. Поэтому ∠MKN = 90°.
Кроме того, ∠MBN = 90°. Значит, точки M, B, N, K лежат на окружности с диаметром MN.
Вписанные углы BKM и BNM опираются на одну хорду BM и равны. Треугольник BNM прямоугольный равнобедренный, поэтому ∠BNM = 45°.
Таким образом, ∠BKM = 45°.
Ответ: утверждение доказано.
б) По теореме Пифагора CM = DN = √(a² + a²/4) = a√5/2.
Прямоугольные треугольники CKN и D CN подобны: ∠CKN = ∠DCN = 90°, а ∠KCN = ∠CDN по доказанному выше.
Отсюда CK/DC = CN/DN, поэтому CK = a · (a/2)/(a√5/2) = a/√5 и CK/CM = 2/5. Следовательно, MK/MC = 3/5.
Опустим KH перпендикулярно AB. Треугольники MHK и MBC подобны по двум углам, поэтому KH/BC = MH/BM = MK/MC = 3/5.
Получаем KH = 3a/5, MH = 3a/10. Точка H лежит между M и B, поэтому AH = a/2 + 3a/10 = 4a/5, BH = a/5.
По теореме Пифагора AK = √((4a/5)² + (3a/5)²) = a, BK = √((a/5)² + (3a/5)²) = a√10/5.
Площадь треугольника ABK равна S = AB · KH/2 = 3a²/10. По формуле S = AB · AK · BK/(4R) радиус описанной окружности R = a√10/6.
При a = 2√10 получаем R = 2√10 · √10/6 = 10/3.
Ответ: 10/3.