Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны в точке . Луч вторично пересекает окружность в точке , а прямую — в точке , причём , .
а) Докажите, что .
б) Найдите основания трапеции.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим точку касания окружности с AD через T. Точка N лежит между A и M, поскольку AN < MN. Поэтому AM = AN + NM = 16.
По теореме о касательной и секущей AT² = AN · AM = 4 · 16 = 64, откуда AT = 8.
Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через центр вписанной окружности и середину AD, поэтому AT = DT = 8 и AD = 16. Следовательно, AM = AD.
Треугольник AMD равнобедренный, значит, ∠AMD = ∠ADM. По равенству касательных, проведённых из D, DM = DT = 8.
По теореме косинусов в треугольнике ADM: AM² = AD² + DM² − 2AD · DM · cos∠ADM. Так как AM = AD, получаем cos∠ADM = DM/(2AD) = 1/4.
Поскольку M лежит между D и C, луч AM пересекает прямую BC за точкой C: действительно, прямая DC разделяет A и продолжение BC за C, а луч AM пересекает DC в M и затем выходит в полуплоскость этого продолжения. Поэтому лучи CK и AD сонаправлены, а лучи CM и DM противоположно направлены. Отсюда ∠MCK = ∠ADM.
Таким образом, ∠AMD = ∠MCK. Ответ: равенство доказано.
б) Пусть BC = b. По симметрии точка касания на BC является его серединой, поэтому длины касательных из C равны b/2. Следовательно, CD = DM + MC = 8 + b/2.
Опустим из C перпендикуляр CH на прямую AD. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна половине разности оснований. Поэтому CD · cos∠ADM = (AD − BC)/2.
Подставляя найденные величины, получаем (8 + b/2)/4 = (16 − b)/2. Отсюда 8 + b/2 = 32 − 2b, то есть 5b/2 = 24 и b = 48/5 = 9,6.
Ответ: AD = 16, BC = 9,6.