Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Используем формулу времени t = S/v. Пусть x км/ч — скорость течения, 0 < x < 13.

Скорость против течения равна 13 − x, по течению — 13 + x.

Обратный путь занял на 2 часа меньше: 168/(13 − x) − 168/(13 + x) = 2.

Умножая на (13 − x)(13 + x), получаем 336x = 2(169 − x²), то есть x² + 168x − 169 = 0.

(x − 1)(x + 169) = 0. Из корней 1 и −169 условию 0 < x < 13 удовлетворяет только 1.

Ответ: 1.

Используем формулу времени t = S/v. Пусть v > 1 км/ч — скорость лодки в неподвижной воде.

Против течения скорость равна v − 1, по течению — v + 1.

Разность времени движения составляет 2 часа: 143/(v − 1) − 143/(v + 1) = 2.

Умножая на (v − 1)(v + 1), получаем 286 = 2(v² − 1), откуда v² = 144.

Корни: v = 12 и v = −12. Условию v > 1 удовлетворяет только 12.

Ответ: 12.

Время заполнения равно объёму, делённому на производительность. Пусть первая труба пропускает x > 0 литров в минуту, тогда вторая — x + 5.

Первая труба заполняет резервуар на 5 минут дольше: 104/x − 104/(x + 5) = 5.

Умножая на x(x + 5), получаем 520 = 5x(x + 5), откуда x² + 5x − 104 = 0.

(x − 8)(x + 13) = 0. Корни: 8 и −13; условию x > 0 удовлетворяет только 8.

Ответ: 8.

Примем объём всей работы за 1. Производительность равна объёму работы, делённому на время.

Вместе Аня и Таня выполняют за минуту 1/24 работы, а одна Таня — 1/36 работы.

Производительности при совместной работе складываются, поэтому производительность Ани равна 1/24 − 1/36 = 3/72 − 2/72 = 1/72.

Значит, одна Аня пропалывает грядку за 1 : (1/72) = 72 минуты.

Ответ: 72.

Пусть масса второго сплава равна x кг, тогда масса первого — (x + 30) кг, а третьего — (2x + 30) кг.

Масса меди при смешивании сохраняется. Составим уравнение: 0,45(x + 30) + 0,20x = 0,40(2x + 30).

Раскроем скобки: 0,65x + 13,5 = 0,80x + 12.

Отсюда 0,15x = 1,5, поэтому x = 10.

Масса третьего сплава: 2 · 10 + 30 = 50 кг.

Ответ: 50.