Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Пусть x деталей в час изготавливает первый рабочий, x > 7. Тогда производительность второго равна x − 7.

Время равно объёму работы, делённому на производительность: 198/(x − 7) − 198/x = 7.

Умножим на x(x − 7): 198 · 7 = 7x(x − 7), откуда x² − 7x − 198 = 0.

(x − 18)(x + 11) = 0. Из корней 18 и −11 условию x > 7 удовлетворяет только x = 18.

Ответ: 18.

Пусть x км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, x > 4. По течению его скорость x + 4, против течения — x − 4.

На движение затрачено 10 − 5 = 5 часов. По формуле t = S/v получаем: 48/(x + 4) + 48/(x − 4) = 5.

Умножим на (x + 4)(x − 4): 96x = 5(x² − 16), то есть 5x² − 96x − 80 = 0.

(x − 20)(5x + 4) = 0. Корни: x = 20 и x = −4/5. Условию x > 4 удовлетворяет только 20.

Ответ: 20.

Плот движется со скоростью течения, поэтому до возвращения яхты он плыл 92/4 = 23 часа.

Яхта вышла на 3 часа позже, значит, её путь туда и обратно занял 23 − 3 = 20 часов.

Пусть x км/ч — скорость яхты в неподвижной воде, x > 4. По формуле t = S/v: 192/(x + 4) + 192/(x − 4) = 20.

Умножим на (x + 4)(x − 4): 384x = 20(x² − 16), откуда 5x² − 96x − 80 = 0.

(x − 20)(5x + 4) = 0. Из корней 20 и −4/5 условию x > 4 удовлетворяет только x = 20.

Ответ: 20.

Пусть x км/ч — скорость второго теплохода, тогда скорость первого равна x − 2 км/ч, x > 2.

По формуле t = S/v первый теплоход находился в пути на 2 часа дольше: 323/(x − 2) − 323/x = 2.

Умножим на x(x − 2): 646 = 2x(x − 2), откуда x² − 2x − 323 = 0.

Получаем (x − 19)(x + 17) = 0. Корень −17 не подходит по условию x > 2, поэтому x = 19.

Ответ: 19.

Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени движения: v = S/t.

Общий путь: S = 120 + 200 + 160 = 480 км.

Общее время: t = 120/60 + 200/100 + 160/120 = 2 + 2 + 4/3 = 16/3 ч.

Средняя скорость: v = 480/(16/3) = 90 км/ч.

Ответ: 90.

Примем весь заказ за единицу. Производительность равна отношению объёма работы ко времени её выполнения.

Первый мастер выполняет за час 1/42 заказа, второй — 1/21 заказа.

При совместной работе производительности складываются: 1/42 + 1/21 = 3/42 = 1/14 заказа в час.

Время выполнения заказа вместе: 1/(1/14) = 14 часов.

Ответ: 14.

Пусть x км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого равна x + 2 км/ч, x > 0.

По формуле t = S/v и условию о времени: 80/x − 80/(x + 2) = 2.

Умножим на x(x + 2): 160 = 2x(x + 2), откуда x² + 2x − 80 = 0.

Получаем (x − 8)(x + 10) = 0. Из корней 8 и −10 условию x > 0 удовлетворяет только 8.

Ответ: 8.

Пусть x км/ч — скорость течения, 0 < x < 9. Скорость лодки против течения равна 9 − x, по течению — 9 + x км/ч.

По формуле t = S/v обратный путь занял на 4 часа меньше: 77/(9 − x) − 77/(9 + x) = 4.

Умножим на (9 − x)(9 + x): 154x = 4(81 − x²), откуда 2x² + 77x − 162 = 0.

Разложим на множители: (x − 2)(2x + 81) = 0. Корни: 2 и −81/2.

Условию 0 < x < 9 удовлетворяет только x = 2.

Ответ: 2.

Пусть x км/ч — скорость течения, 0 < x < 8. Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.
Против течения скорость равна 8 − x, по течению — 8 + x. Поэтому 48/(8 − x) − 48/(8 + x) = 8.
Умножая на (8 − x)(8 + x), получаем: 96x = 8(64 − x²), откуда x² + 12x − 64 = 0.
(x − 4)(x + 16) = 0. Корень −16 не подходит по условию; x = 4 удовлетворяет ограничениям.
Ответ: 4.

Пусть x км/ч — скорость первого теплохода, x > 0. Тогда скорость второго равна x + 2 км/ч.
По формуле t = S/v время первого равно 168/x, второго — 168/(x + 2). Второй был в пути на 2 часа меньше.
168/x − 168/(x + 2) = 2, откуда 336 = 2x(x + 2).
x² + 2x − 168 = 0; (x − 12)(x + 14) = 0. Из корней 12 и −14 подходит только положительный: x = 12.
Ответ: 12.

Пусть x км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего первым, x > 9. Скорость второго равна x − 9 км/ч.
По формуле t = S/v и условию о разности времени: 220/(x − 9) − 220/x = 9.
Умножаем на x(x − 9): 1980 = 9x(x − 9), поэтому x² − 9x − 220 = 0.
(x − 20)(x + 11) = 0. Из корней 20 и −11 условию x > 9 удовлетворяет только x = 20.
Ответ: 20.

Пусть x км/ч — скорость течения, 0 ≤ x < 22. Время движения без стоянки: 47 − 3 = 44 часа.
Скорости по течению и против течения равны 22 + x и 22 − x. По формуле t = S/v: 468/(22 + x) + 468/(22 − x) = 44.
Умножаем на (22 + x)(22 − x): 468 · 44 = 44(484 − x²).
468 = 484 − x², откуда x² = 16. Из корней −4 и 4 ограничениям удовлетворяет только x = 4.
Ответ: 4.

Пусть x км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего вторым, x > 0. Скорость первого равна x + 8 км/ч.
По формуле t = S/v второй затратил 144/x часов, первый — 144/(x + 8) часов.
144/x − 144/(x + 8) = 9, откуда 1152 = 9x(x + 8).
x² + 8x − 128 = 0; (x − 8)(x + 16) = 0. Отрицательный корень −16 не подходит; x = 8.
Ответ: 8.

Пусть x км/ч — скорость на обратном пути, x > 6. Тогда первоначальная скорость равна x − 6 км/ч.

Время движения равно расстоянию, делённому на скорость. С учётом остановки: 90/(x − 6) = 90/x + 4.

Умножим на x(x − 6): 90x = 90(x − 6) + 4x(x − 6), откуда x² − 6x − 135 = 0.

(x − 15)(x + 9) = 0. Корень −9 не удовлетворяет условию x > 6, поэтому x = 15.

Ответ: 15.

Пусть x л/мин пропускает первая труба, x > 0. Тогда вторая пропускает x + 4 л/мин.

Время заполнения равно объёму, делённому на производительность: 285/x − 285/(x + 4) = 4.

Умножим на x(x + 4): 1140 = 4x(x + 4), откуда x² + 4x − 285 = 0.

(x − 15)(x + 19) = 0. Из двух корней только x = 15 положителен.

Ответ: 15.

Чтобы найти число по его процентной части, нужно эту часть разделить на долю, соответствующую процентам.

5% = 0,05. Поэтому число участников равно 6/0,05 = 120.

Ответ: 120.

Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени движения.

Общий путь: 200 + 180 + 140 = 520 км.

Общее время: 200/60 + 180/90 + 140/120 = 10/3 + 2 + 7/6 = 13/2 ч.

Средняя скорость: 520/(13/2) = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Пусть масса второго сплава равна x кг, тогда масса первого — x + 10 кг. Масса смеси равна 2x + 10 кг.

Масса меди при смешивании сохраняется: 0,40(x + 10) + 0,25x = 0,35(2x + 10).

Раскрывая скобки, получаем: 0,65x + 4 = 0,70x + 3,5, откуда 0,05x = 0,5 и x = 10.

Масса третьего сплава: 2 · 10 + 10 = 30 кг.

Ответ: 30.

Пусть x км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, x > 1. Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.
По течению скорость равна x + 1, против течения — x − 1. На движение затрачено 20 − 1 = 19 часов.
180/(x + 1) + 180/(x − 1) = 19.
360x = 19(x² − 1), откуда 19x² − 360x − 19 = 0.
D = 360² + 4 · 19² = 131044 = 362²; x = (360 ± 362)/38. Получаем x = 19 или x = −1/19.
Условию x > 1 удовлетворяет только x = 19. Ответ: 19.

Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — x − 4 л/мин, x > 4. Время заполнения равно объёму, делённому на производительность.
Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше: 672/(x − 4) − 672/x = 4.
672 · 4 = 4x(x − 4), откуда x² − 4x − 672 = 0.
(x − 28)(x + 24) = 0; x = 28 или x = −24.
Условию x > 4 удовлетворяет только x = 28. Ответ: 28.