Сложные события · 55 заданий ФИПИ с ответами
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало
ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма
очков равна 9».
При условии, что шестёрка не выпала, в каждом броске возможны пять значений: 1, 2, 3, 4, 5.
Всего имеется 5 · 5 = 25 равновозможных упорядоченных пар результатов.
Сумму 9 дают две пары: (4; 5) и (5; 4).
По классической формуле вероятности P = 2/25 = 0,08.
Ответ: 0,08.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Обозначим события: A — масса меньше 810 г, B — масса больше 790 г.
Любая масса удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, поэтому P(A ∪ B) = 1.
По формуле сложения вероятностей P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B).
Искомая вероятность равна 0,98 + 0,83 − 1 = 0,81.
Ответ: 0,81.
Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.
Вероятность попадания равна 0,2, поэтому вероятность промаха равна 1 − 0,2 = 0,8.
Считая результаты выстрелов независимыми, применим правило умножения вероятностей.
Вероятность трёх первых попаданий и последнего промаха: P = 0,2³ · 0,8 = 0,0064.
Ответ: 0,0064.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейку могут забраковать в двух несовместных случаях: она неисправна или исправна.
Вероятность того, что батарейка исправна: 1 − 0,2 = 0,8.
По правилу умножения вероятности этих случаев равны 0,2 · 0,95 = 0,19 и 0,8 · 0,05 = 0,04.
По правилу сложения P = 0,19 + 0,04 = 0,23.
Ответ: 0,23.
Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.
Вероятность попадания равна 0,3, поэтому вероятность промаха равна 1 − 0,3 = 0,7.
Нужна определённая последовательность: попадание, попадание, попадание, промах.
По правилу умножения вероятностей независимых событий P = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,7 = 0,0189.
Ответ: 0,0189.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
Вероятность попадания равна 0,7, поэтому вероятность промаха равна 1 − 0,7 = 0,3.
Нужна определённая последовательность: попадание, промах, промах, промах.
По правилу умножения вероятностей независимых событий P = 0,7 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,0189.
Ответ: 0,0189.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать с мячом только вторую игру.
В каждой игре вероятность начать с мячом равна 0,5, как и вероятность начать без мяча.
Чтобы начинать с мячом только вторую игру, «Ротор» должен проиграть первый жребий, выиграть второй и проиграть третий.
Результаты жеребьёвок независимы. По правилу умножения P = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Изумруд» играет два матча
с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Изумруд» начнёт игру с мячом не больше одного раза.
Противоположное событие к «начать с мячом не больше одного раза» — начать с мячом оба матча.
В каждом матче вероятность начать с мячом равна 0,5. Броски монеты независимы.
Вероятность начать с мячом оба матча: 0,5 · 0,5 = 0,25.
По формуле вероятности противоположного события P = 1 − 0,25 = 0,75.
Ответ: 0,75.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейка может быть забракована в двух несовместных случаях: она неисправна или исправна.
Вероятность исправности равна 1 − 0,01 = 0,99.
По правилу умножения вероятностей вероятность браковки неисправной батарейки равна 0,01 · 0,95, а исправной — 0,99 · 0,05.
По правилу сложения получаем: 0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,05 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059.
Ответ: 0,059.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,3 = 0,7.
Нужна последовательность: попадание, попадание, промах, промах.
По правилу умножения вероятностей независимых событий получаем: 0,3 · 0,3 · 0,7 · 0,7 = 0,0441.
Ответ: 0,0441.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени
и не попадёт в две последние.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,7 = 0,3.
Нужна последовательность: попадание, попадание, промах, промах.
По правилу умножения вероятностей независимых событий получаем: 0,7 · 0,7 · 0,3 · 0,3 = 0,0441.
Ответ: 0,0441.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Обозначим через A событие «кофе закончится в первом автомате», через B — «кофе закончится во втором».
По формуле вероятности объединения кофе закончится хотя бы в одном автомате с вероятностью P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Получаем: 0,1 + 0,1 − 0,05 = 0,15.
Кофе останется в обоих автоматах при противоположном событии, вероятность которого равна 1 − 0,15 = 0,85.
Ответ: 0,85.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,94. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейка может быть забракована в двух несовместных случаях: она неисправна или исправна.
Вероятность исправности равна 1 − 0,01 = 0,99.
По правилу умножения вероятностей вероятность браковки неисправной батарейки равна 0,01 · 0,94, а исправной — 0,99 · 0,04.
По правилу сложения получаем: 0,01 · 0,94 + 0,99 · 0,04 = 0,0094 + 0,0396 = 0,049.
Ответ: 0,049.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень
и не попадёт в три последние.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,9 = 0,1.
Выстрелы считаем независимыми, поэтому применяем правило умножения вероятностей.
Вероятность попадания в первую мишень и промаха по каждой из трёх последних равна:
P = 0,9 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,0009.
Ответ: 0,0009.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,07. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейка может быть забракована в двух несовместных случаях: она неисправна или исправна.
Вероятность браковки неисправной батарейки: 0,1 · 0,97 = 0,097.
Вероятность браковки исправной батарейки: (1 − 0,1) · 0,07 = 0,063.
По формуле полной вероятности складываем вероятности этих случаев:
P = 0,097 + 0,063 = 0,16.
Ответ: 0,16.
