Задание 12 ЕГЭ по профильной математике

График функции f(x) = aˣ проходит через точку (−1; 4).

Поэтому a⁻¹ = 4, то есть 1/a = 4 и a = 1/4.

По свойству степени f(−2) = a⁻² = (a⁻¹)² = 4² = 16.

Ответ: 16.

График f(x) = a√x проходит через точку (1; 2), поэтому a = 2. Прямая g(x) = kx проходит через точку (5; 1), поэтому k = 1/5.

В точках пересечения 2√x = x/5, откуда 10√x = x, причём x ≥ 0.

Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда t² − 10t = 0, то есть t(t − 10) = 0.

Получаем t = 0 или t = 10, следовательно, x = 0 или x = 100.

Точка A — начало координат, поэтому абсцисса второй точки B равна 100.

Ответ: 100.

График функции f(x) = a√x проходит через точку (1; 2).

Подставим её координаты: 2 = a√1, откуда a = 2.

Тогда f(64) = 2√64 = 2 · 8 = 16.

Ответ: 16.

Парабола пересекает ось Ox при x = 0 и x = 2, поэтому f(x) = ax(x − 2).

По рисунку f(3) = 3, значит 3a = 3, a = 1 и f(x) = x² − 2x.

Прямая проходит через точку (1; 3), поэтому g(x) = 3x.

В точках пересечения x² − 2x = 3x, откуда x(x − 5) = 0.

Точке A соответствует x = 0, поэтому абсцисса точки B равна 5.

Ответ: 5.

График f(x) = a√x проходит через точку (1; 5), поэтому a = 5.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (1; 1), поэтому k = 1.

В точках пересечения 5√x = x, где x ≥ 0.

Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда t² − 5t = 0, откуда t = 0 или t = 5.

Получаем x = 0 или x = 25. Начало координат — точка A, значит абсцисса B равна 25.

Ответ: 25.

По рисунку A(−3; −4) лежит на гиперболе y = k/x, поэтому k = (−3) · (−4) = 12.

Прямая проходит через A и точку (0; −3), значит b = −3, a = (−3 + 4)/(0 + 3) = 1/3.

Уравнение пересечения: 12/x = x/3 − 3, где x ≠ 0.

Умножая на 3x, получаем x² − 9x − 36 = 0, то есть (x + 3)(x − 12) = 0.

Корень x = −3 соответствует точке A, поэтому абсцисса точки B равна 12.

Ответ: 12.

По рисунку A(−2; −4) лежит на гиперболе y = k/x, поэтому k = (−2) · (−4) = 8.

Прямая проходит через A и точку (0; −3), значит b = −3, a = (−3 + 4)/(0 + 2) = 1/2.

В точках пересечения 8/x = x/2 − 3, где x ≠ 0.

Умножая на 2x, получаем x² − 6x − 16 = 0, то есть (x + 2)(x − 8) = 0.

Корень x = −2 соответствует точке A, поэтому абсцисса точки B равна 8.

Ответ: 8.

График функции f(x) = a√x проходит через точку (1; −4).

Подставим её координаты: −4 = a√1, откуда a = −4.

Следовательно, f(36) = −4√36 = −4 · 6 = −24.

Ответ: −24.

Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.

Первая прямая проходит через точки (−2; 0) и (0; 2), поэтому её уравнение y = x + 2.

Вторая прямая проходит через точки (0; −1) и (1; 1), поэтому её уравнение y = 2x − 1.

В точке пересечения значения функций равны: x + 2 = 2x − 1.

Отсюда x = 3.

Ответ: 3.

По рисунку нули параболы равны 0 и 4, поэтому f(x) = ax(x − 4).

Точка (5; 5) принадлежит параболе: 5 = a · 5 · (5 − 4), откуда a = 1. Значит, f(x) = x² − 4x.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (1; 3), поэтому k = 3 и g(x) = 3x.

В точках пересечения x² − 4x = 3x, то есть x(x − 7) = 0.

Получаем x = 0 или x = 7. Точке A соответствует x = 0, следовательно, абсцисса B равна 7.

Ответ: 7.

Для функции f(x) = k/x произведение координат любой точки графика равно k.

По рисунку A(−4; −3), поэтому k = (−4) · (−3) = 12.

Прямая проходит через A и точку (0; −2), значит a = (−2 + 3)/(0 + 4) = 1/4 и g(x) = x/4 − 2.

В точках пересечения 12/x = x/4 − 2. При x ≠ 0 получаем x² − 8x − 48 = 0.

(x + 4)(x − 12) = 0, откуда x = −4 или x = 12. Первый корень соответствует точке A, второй — точке B.

Ответ: 12.

По рисунку парабола пересекает ось абсцисс при x = 0 и x = 3, поэтому f(x) = ax(x − 3).

На параболе отмечена точка (4; 4): 4 = a · 4 · (4 − 3), откуда a = 1. Значит, f(x) = x² − 3x.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (1; 3), поэтому k = 3 и g(x) = 3x.

Приравняем значения функций: x² − 3x = 3x, то есть x(x − 6) = 0.

Получаем x = 0 или x = 6. Точка A — начало координат, поэтому абсцисса точки B равна 6.

Ответ: 6.

По рисунку график f(x) = a√x проходит через точку (1; 3), поэтому a = 3.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (2; 1), значит k = 1/2.

В точках пересечения 3√x = x/2, где x ≥ 0. Обозначим t = √x, t ≥ 0.

Тогда 6t = t², откуда t(t − 6) = 0. Следовательно, t = 0 или t = 6, то есть x = 0 или x = 36.

Начало координат соответствует точке A, поэтому абсцисса точки B равна 36.

Ответ: 36.

Для показательной функции f(x) = aˣ значение f(1) равно основанию a.

По рисунку график проходит через точку (1; 3), поэтому a = 3.

Следовательно, f(3) = 3³ = 27.

Ответ: 27.

Для функции f(x) = k/x произведение координат любой точки графика равно k.

По рисунку график проходит через точку (5; 1), поэтому k = 5 · 1 = 5.

Тогда f(10) = 5/10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

По графику A(−2; −3), а прямая проходит через точку (0; −2).

Для f(x) = k/x получаем k = (−2) · (−3) = 6.

Угловой коэффициент прямой a = (−2 − (−3))/(0 − (−2)) = 1/2, поэтому g(x) = x/2 − 2.

В точках пересечения 6/x = x/2 − 2, где x ≠ 0. Отсюда x² − 4x − 12 = 0.

(x − 6)(x + 2) = 0. Корень −2 соответствует точке A, поэтому абсцисса B равна 6.

Ответ: 6.

По графику функция f(x) = aˣ проходит через точку (−1; 3).

Следовательно, a⁻¹ = 3, то есть 1/a = 3 и a = 1/3.

По свойству степени f(−3) = (1/3)⁻³ = 3³ = 27.

Ответ: 27.