Задание 2 ЕГЭ по профильной математике

Координаты вектора — разность координат конца и начала. По клеткам: $\overrightarrow{a}$ идёт из точки $(1;2)$ в точку $(5;8)$, значит, $\overrightarrow{a}(4;6)$; $\overrightarrow{b}$ идёт из $(5;5)$ в $(11;3)$, значит, $\overrightarrow{b}(6;-2)$.

Скалярное произведение: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\cdot 6+6\cdot (-2)=24-12=12$.

$7\overrightarrow{a}=(14;14)$, поэтому $7\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(14+2;14-2)=(16;12)$.

Длина вектора: $\sqrt{{16}^2+{12}^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$.

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5\cdot 4+3\cdot (-6)=20-18=2$.

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos 60°.

Так как cos 60° = 1/2, получаем: a⃗ · b⃗ = 3 · 7 · 1/2 = 10,5.

Ответ: 10,5.

Координаты вектора находим, вычитая из координат конца координаты начала.

По рисунку a⃗ = (8 − 1; 5 − 2) = (7; 3), b⃗ = (6 − 1; 3 − 1) = (5; 2).

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

a⃗ · b⃗ = 7 · 5 + 3 · 2 = 35 + 6 = 41.

Ответ: 41.

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

a⃗ · b⃗ = (−13) · (−6) + 4 · 1.

a⃗ · b⃗ = 78 + 4 = 82.

Ответ: 82.

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

a⃗ · b⃗ = 6 · 5 + 4 · (−7).

a⃗ · b⃗ = 30 − 28 = 2.

Ответ: 2.

При умножении вектора на число умножаем каждую координату; при сложении складываем соответствующие координаты.

5a⃗ + b⃗ = (5 · 1 + 5; 5 · 5 − 1) = (10; 24).

Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).

|5a⃗ + b⃗| = √(10² + 24²) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
a · b = 7 · 8 + 9 · (−6) = 56 − 54 = 2.
Ответ: 2.

Скалярное произведение вычисляется по формуле a · b = |a| · |b| · cos α.
Так как cos 60° = 1/2, получаем a · b = 3 · 5 · 1/2 = 7,5.
Ответ: 7,5.

При умножении вектора на число умножаем каждую координату, при сложении складываем соответствующие координаты.
7a + b = (7 · 2 + 2; 7 · 2 − 2) = (16; 12).
Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).
|7a + b| = √(16² + 12²) = √400 = 20.
Ответ: 20.

Координаты вектора находим, вычитая из координат конца координаты начала.
По рисунку a = (3 − 1; 5 − 1) = (2; 4), b = (6 − 2; 5 − 1) = (4; 4).
Складывая соответствующие координаты, получаем a + b = (6; 8).
Длина суммы равна √(6² + 8²) = √100 = 10.
Ответ: 10.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
a · b = 7 · 28 + 11 · (−17) = 196 − 187 = 9.
Ответ: 9.

При вычитании векторов вычитают соответствующие координаты.
a − 4b = (25 − 4 · 1; 0 − 4 · (−5)) = (21; 20).
Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).
|a − 4b| = √(21² + 20²) = √841 = 29.
Ответ: 29.

Сумму и разность векторов вычисляем по координатам.
a + b = (2 + 2; 1 − 4) = (4; −3).
7a − b = (14 − 2; 7 − (−4)) = (12; 11).
Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
(a + b) · (7a − b) = 4 · 12 + (−3) · 11 = 48 − 33 = 15.
Ответ: 15.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
a · b = 8 · 4 + 9 · (−3).
a · b = 32 − 27 = 5.
Ответ: 5.

Координаты вектора равны разностям координат его конца и начала.
По рисунку a = (4 − 1; 5 − 1) = (3; 4).
Аналогично b = (5 − 3; 2 − 3) = (2; −1).
a + 4b = (3 + 4 · 2; 4 + 4 · (−1)) = (11; 0).
Длина вектора равна √(x² + y²), поэтому |a + 4b| = √(11² + 0²) = 11.
Ответ: 11.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
a · b = 6 · 8 + 9 · (−5).
a · b = 48 − 45 = 3.
Ответ: 3.

Умножаем каждую координату вектора на число и складываем соответствующие координаты.

6a + 3b = (6·1 + 3·2; 6·2 + 3·(−1)) = (12; 9).

Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).

|6a + 3b| = √(12² + 9²) = √225 = 15.

Ответ: 15.

Умножаем каждую координату вектора на число и складываем соответствующие координаты.

6a + 2b = (6·1 + 2·3; 6·3 + 2·(−1)) = (12; 16).

Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).

|6a + 2b| = √(12² + 16²) = √400 = 20.

Ответ: 20.