Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Пусть скорость второго $v$ км/⁠ч, первого $v+5$ км/⁠ч. Второй ехал на 3 часа дольше:

$\frac{90}{v}-\frac{90}{v+5}=3$, $450=3v(v+5)$, $v^2+5v-150=0$, $v=10$ (отрицательный корень не подходит).

Первым пришёл первый велосипедист: $10+5=15$ км/⁠ч.

Пусть взяли $x$ кг 45%-го и $y$ кг 97%-го раствора. Считаем массу кислоты:

$\mathrm{0,45}x+\mathrm{0,97}y=\mathrm{0,62}(x+y+10)$ и $\mathrm{0,45}x+\mathrm{0,97}y+5=\mathrm{0,72}(x+y+10)$.

Вычтем первое из второго: $5=\mathrm{0,1}(x+y+10)$, откуда $x+y=40$. Тогда в первом уравнении $\mathrm{0,45}x+\mathrm{0,97}(40-x)=31$, $\mathrm{38,8}-\mathrm{0,52}x=31$, $x=15$.

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час, первый — $x+2$. Первый тратит на заказ на час меньше:

$\frac{112}{x}-\frac{112}{x+2}=1$, $224=x(x+2)$, $x^2+2x-224=0$, $x=14$ (отрицательный корень не подходит).

Пусть x деталей в час изготавливает первый рабочий, тогда второй — x − 2, где x > 2. Время работы равно объёму заказа, делённому на производительность.
Первый выполняет заказ на 2 часа быстрее: 323/(x − 2) − 323/x = 2.
Умножим на x(x − 2): 646 = 2x(x − 2), откуда x² − 2x − 323 = 0.
Разложим на множители: (x − 19)(x + 17) = 0. Корни: 19 и −17; условию x > 2 удовлетворяет только 19.
Ответ: 19.

Пусть v км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, v > 2. По течению его скорость v + 2, против течения — v − 2.
Время движения без стоянки: 13 − 4 = 9 часов. По формуле t = S/v получаем: 80/(v + 2) + 80/(v − 2) = 9.
Умножим на (v + 2)(v − 2): 160v = 9(v² − 4), то есть 9v² − 160v − 36 = 0.
Разложим на множители: (v − 18)(9v + 2) = 0. Корни: 18 и −2/9; условию v > 2 удовлетворяет только 18.
Ответ: 18.

Пусть x деталей в час изготавливает второй рабочий, тогда первый — x + 8, где x > 0. Время работы равно объёму заказа, делённому на производительность.
Второй выполняет заказ на 8 часов дольше: 209/x − 209/(x + 8) = 8.
Умножим на x(x + 8): 209 · 8 = 8x(x + 8), откуда x² + 8x − 209 = 0.
Разложим на множители: (x − 11)(x + 19) = 0. Корни: 11 и −19; условию x > 0 удовлетворяет только 11.
Ответ: 11.

Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени движения: v = S/t.
По формуле S = vt общий путь: S = 115 · 1 + 45 · 3 + 40 · 2 = 330 км.
Общее время: t = 1 + 3 + 2 = 6 часов.
Средняя скорость: 330/6 = 55 км/ч.
Ответ: 55.

Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени движения: v = S/t.
По формуле S = vt общий путь: S = 120 · 1 + 105 · 3 + 65 · 3 = 630 км.
Общее время: t = 1 + 3 + 3 = 7 часов.
Средняя скорость: 630/7 = 90 км/ч.
Ответ: 90.

Пусть v км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, v > 3. Используем формулу t = S/v.

В движении теплоход находился 54 − 6 = 48 часов, поэтому 567/(v + 3) + 567/(v − 3) = 48.

Умножив на (v − 3)(v + 3), получим 1134v = 48(v² − 9), откуда 8v² − 189v − 72 = 0.

Разложим на множители: (v − 24)(8v + 3) = 0. Корни: 24 и −3/8; условию v > 3 удовлетворяет только 24.

Ответ: 24.

Пусть x л/мин — производительность второй трубы, x > 6. Тогда производительность первой равна x − 6 л/мин.

Время заполнения равно объёму, делённому на производительность: 112/(x − 6) − 112/x = 6.

Умножив на x(x − 6), получим 672 = 6x(x − 6), то есть x² − 6x − 112 = 0.

Разложим на множители: (x − 14)(x + 8) = 0. Из корней 14 и −8 условию x > 6 удовлетворяет только 14.

Ответ: 14.

Скорость по течению равна 27 + 1 = 28 км/ч, против течения — 27 − 1 = 26 км/ч.

На движение затрачено 32 − 5 = 27 часов. Пусть S км — расстояние между исходным пунктом и местом стоянки.

По формуле t = S/v составим уравнение: S/28 + S/26 = 27.

Получаем 54S/728 = 27, откуда S = 364 км. За весь рейс теплоход проходит 2S = 728 км.

Ответ: 728.

Пусть u км/ч — скорость течения, 0 < u < 15. Скорости лодки против течения и по течению равны 15 − u и 15 + u км/ч.

По формуле t = S/v разность времени в пути равна 280/(15 − u) − 280/(15 + u) = 14.

Умножив на (15 − u)(15 + u), получим 560u = 14(225 − u²), откуда u² + 40u − 225 = 0.

Разложим на множители: (u − 5)(u + 45) = 0. Из корней 5 и −45 условию 0 < u < 15 удовлетворяет только 5.

Ответ: 5.

Пусть x км/ч — скорость велосипедиста, прибывшего первым, x > 9. Тогда скорость второго равна x − 9 км/ч.

По формуле t = S/v разность времени в пути равна 190/(x − 9) − 190/x = 9.

Умножив на x(x − 9), получим 1710 = 9x(x − 9), откуда x² − 9x − 190 = 0.

Разложим на множители: (x − 19)(x + 10) = 0. Из корней 19 и −10 условию x > 9 удовлетворяет только 19.

Ответ: 19.

Пусть x км/ч — скорость баржи из A в B, x > 0. Время равно расстоянию, делённому на скорость.
С учётом остановки время обратного пути равно 288/(x + 1) + 4, поэтому 288/x = 288/(x + 1) + 4.
Умножая на x(x + 1), получаем 288 = 4x(x + 1), то есть x² + x − 72 = 0.
Разложим на множители: (x − 8)(x + 9) = 0. Из корней 8 и −9 условию x > 0 удовлетворяет только 8.
Ответ: 8.

Пусть масса первого сплава равна x кг, тогда масса второго — (x + 90) кг, а третьего — (2x + 90) кг.
Масса меди равна массе сплава, умноженной на долю меди. При смешивании масса меди сохраняется.
Составим уравнение: 0,6x + 0,1(x + 90) = 0,2(2x + 90).
Получаем 0,7x + 9 = 0,4x + 18, откуда 0,3x = 9 и x = 30.
Масса третьего сплава: 2 · 30 + 90 = 150 кг.
Ответ: 150.

Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.
Второй автомобиль до встречи проехал 500 − 260 = 240 км за 240/80 = 3 часа.
Первый автомобиль выехал на час раньше, поэтому до встречи находился в пути 3 + 1 = 4 часа.
Его скорость равна 260/4 = 65 км/ч.
Ответ: 65.

Пусть x км/ч — скорость велосипедиста из А в В, x > 0. Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.
Учитывая остановку на обратном пути, получаем 108/x = 108/(x + 6) + 3.
Умножим на x(x + 6): 648 = 3x(x + 6), откуда x² + 6x − 216 = 0.
Разложим на множители: (x − 12)(x + 18) = 0. Корень −18 не подходит, так как скорость положительна, поэтому x = 12.
Ответ: 12.

Пусть x км/ч — скорость течения, 0 < x < 9. Скорость лодки против течения равна 9 − x, по течению — 9 + x.
Время равно расстоянию, делённому на скорость. По условию 72/(9 − x) − 72/(9 + x) = 6.
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем 144x/(81 − x²) = 6.
Отсюда 24x = 81 − x², то есть x² + 24x − 81 = 0.
Разложим на множители: (x − 3)(x + 27) = 0. Из корней 3 и −27 условию 0 < x < 9 удовлетворяет только 3.
Ответ: 3.

Пусть x км/ч — скорость первого велосипедиста, x > 5. Тогда скорость второго равна x − 5 км/ч.

По формуле t = S/v и условию о разности времени: 90/(x − 5) − 90/x = 3.

Умножим на x(x − 5): 450 = 3x(x − 5), откуда x² − 5x − 150 = 0.

(x − 15)(x + 10) = 0. Корень x = −10 не удовлетворяет условию x > 5, поэтому x = 15.

Ответ: 15.

Примем весь заказ за единицу. Производительность первого мастера равна 1/40 заказа в час, второго — 1/24.

При совместной работе производительности складываются: 1/40 + 1/24 = 3/120 + 5/120 = 1/15 заказа в час.

Время выполнения заказа равно объёму работы, делённому на производительность: 1/(1/15) = 15 часов.

Ответ: 15.