Практическая планиметрия · 251 задание ФИПИ с ответами
Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 10:00?
Задание проверяет нахождение угла между стрелками часов.
Циферблат разделён на 12 равных частей, поэтому между соседними часовыми отметками 360°/12 = 30°.
В 10:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая — на 10; меньший угол занимает два деления.
Он равен 2 · 30° = 60°.
Ответ: 60.
| Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 60 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м. |
|
Задание проверяет вычисление периметра прямоугольника в практической ситуации.
Периметр участка равен удвоенной сумме соседних сторон: P = 2 · (30 + 60) = 180 м.
На месте проезда забор не нужен, поэтому из периметра вычитаем ширину проезда.
Длина забора составляет 180 − 3 = 177 м.
Ответ: 177.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,1 м,
а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение площадей.
Фактическая площадь комнаты равна S = ab = 4,1 · 5 = 20,5 м².
Она больше указанной на плане на 20,5 − 20 = 0,5 м².
Ответ: 0,5.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 74 см, а ширина экрана 70 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольнику.
Ширина и высота экрана — катеты прямоугольного треугольника, а диагональ — его гипотенуза.
Высота равна √(74² − 70²) = √(5476 − 4900) = √576 = 24 см.
Ответ: 24.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,7 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение подобия треугольников.
Вертикальный столб параллелен вертикальной стороне горки, поэтому малый и большой прямоугольные треугольники подобны.
Столб подпирает середину наклонной стороны, значит, стороны малого треугольника вдвое меньше соответствующих сторон большого.
Высота столба: l = h/2 = 3,7/2 = 1,85 м.
Ответ: 1,85.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5 м,
а длина 6,3 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет умение вычислять площадь прямоугольника и сравнивать площади.
Площадь комнаты равна произведению длины и ширины: S = 6,3 · 5 = 31,5 м².
Она больше указанной на плане на 31,5 − 31 = 0,5 м².
Ответ: 0,5.
| Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту этого столба, если высота горки равна 2,2 м. Ответ дайте в метрах. |
|
Задание проверяет применение свойств подобных треугольников. Столб и высота горки вертикальны, поэтому параллельны, а образованные треугольники подобны по двум углам. Столб подпирает середину ската, поэтому коэффициент подобия малого треугольника большому равен 1/2. Следовательно, высота столба l = h/2 = 2,2/2 = 1,1 м.
Ответ: 1,1.
| Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,1 м, а наибольшая |
|
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Вертикальные отрезки высотой h₁ и h₂ параллельны, а столб посередине является средней линией трапеции.
Его высота равна полусумме оснований: l = (h₁ + h₂)/2 = (1,1 + 1,9)/2 = 1,5 м.
Ответ: 1,5.
Квартира состоит из двух комнат,
кухни, коридора и санузла (см. рисунок). Кухня имеет размеры , вторая
комната , санузел имеет размеры , длина коридора 9,5 м. Найдите площадь первой комнаты
(в квадратных метрах).
Задание проверяет нахождение площади прямоугольника по плану квартиры. По чертежу ширина первой комнаты равна ширине кухни: 4 м. Её длина равна 3,5 + 3 − 3,5 = 3 м. Площадь: 4 × 3 = 12 м².
Ответ: 12
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
Задание проверяет умение находить расстояние с помощью подобных треугольников.
Треугольники, образованные фонарём и его лучом, человеком и его тенью, подобны по двум углам.
Пусть x — расстояние от фонаря до человека в метрах; тогда расстояние до конца тени равно x + 1.
Из подобия следует 9/1,8 = (x + 1)/1, поэтому x + 1 = 5 и x = 4 м.
Ответ: 4.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,75 м, а наибольшая
высота h2 равна 2,75 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Вертикальные отрезки высот по краям перил параллельны, а столб посередине является средней линией образованной трапеции.
Его высота равна полусумме крайних высот: l = (1,75 + 2,75)/2 = 2,25 м.
Ответ: 2,25.
На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми двумя соседними спицами в нём будет равен 12°?
Задание проверяет знание величины полного угла.
Спицы делят полный угол вокруг центра колеса на равные углы по 12°.
Полный угол равен 360°, а число промежутков между соседними спицами равно числу спиц.
Поэтому спиц будет 360°/12° = 30.
Ответ: 30.
Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 м и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте
в квадратных метрах.
Задание проверяет умение находить площади прямоугольника и квадрата. Площадь участка равна 35 · 45 = 1575 м². Площадь дома равна 7² = 49 м². Площадь свободной части участка: 1575 − 49 = 1526 м². Ответ: 1526.
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Задание проверяет применение площади прямоугольника к расчёту количества паркета.
Площадь пола: S = 7 · 9 = 63 м².
Стороны дощечки равны 0,1 м и 0,2 м, поэтому её площадь равна 0,1 · 0,2 = 0,02 м².
Потребуется 63 / 0,02 = 3150 дощечек; они укладываются без обрезки, поскольку 7 м делятся на 0,1 м, а 9 м — на 0,2 м.
Ответ: 3150.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2,3 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника.
На рисунке столб проходит через середину наклонной стороны горки параллельно её вертикальной стороне.
Поэтому столб является средней линией треугольника, а его длина равна половине высоты горки.
l = 2,3/2 = 1,15 м.
Ответ: 1,15.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 70 см, а ширина экрана 56 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольнику.
Диагональ экрана — гипотенуза прямоугольного треугольника, а ширина и высота — его катеты.
Высота равна h = √(70² − 56²) = √(4900 − 3136) = √1764 = 42 см.
Ответ: 42.
| Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту этого столба, если высота горки равна 2,2 м. Ответ дайте в метрах. |
|
Задание проверяет практическую планиметрию. По рисунку столб параллелен вертикальной стороне горки и подпирает середину наклонной стороны. Значит, он является средней линией треугольника, а его высота равна половине высоты горки: l = 2,2 / 2 = 1,1 м.
Ответ: 1,1.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,3 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,1 м, а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение площадей.
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: S = ab.
По результатам измерений S = 3,1 · 5 = 15,5 м².
Фактическая площадь больше указанной на плане на 15,5 − 15,3 = 0,2 м².
Ответ: 0,2.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,1 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет нахождение высоты в середине наклонной горки. По подобию треугольников высота столба в середине равна половине высоты горки: l = 3,1 : 2 = 1,55 м.
Ответ: 1,55.
| Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 100 см, |
|
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольному экрану. Диагональ — гипотенуза, а ширина и высота — катеты прямоугольного треугольника. Высота равна √(100² − 80²) = √3600 = 60 см. Ответ: 60.
