Практическая планиметрия · 251 задание ФИПИ с ответами
Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 30 м. Дом, расположенный на участке, имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 5 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Площадь участка 30 · 30 = 900 м², дом занимает 8 · 5 = 40 м². Свободно 900 − 40 = 860 м².
Ответ: 860.
Колесо имеет 24 спицы. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
24 спицы делят полный угол 360° на 24 равные части: 360 : 24 = 15°.
Ответ: 15.
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 4 м.
Периметр 2 · (30 + 75) = 210 м, без проезда 210 − 4 = 206 м.
Ответ: 206.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м,
а длина 5,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение площадей. По точным измерениям площадь комнаты равна S = ab = 3 · 5,1 = 15,3 м². Она больше указанной на плане на 15,3 − 15,2 = 0,1 м². Ответ: 0,1.
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.
Задание проверяет умение находить длину ограждения по периметру прямоугольного участка.
Периметр прямоугольника вычисляют по формуле P = 2 · (a + b).
Периметр участка равен 2 · (25 + 50) = 150 м.
На месте проезда забор не нужен, поэтому его длина составляет 150 − 3 = 147 м.
Ответ: 147.
| Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 280 квадратных метров (см. рисунок), причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода? |
|
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и использование симметрии круга.
Площадь каждого участка: S = 20 · 30 = 600 м².
Граница проходит через центр пруда и делит его на две равные части, поэтому на каждом участке пруд занимает 280 / 2 = 140 м².
Оставшаяся площадь: 600 − 140 = 460 м².
Ответ: 460.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2,7 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение подобия треугольников в практической ситуации.
Столб и высота горки параллельны, поэтому маленький треугольник под горкой подобен большому.
Столб подпирает середину наклонного отрезка, значит, соответствующие стороны маленького треугольника вдвое меньше сторон большого.
Высота столба равна l = h/2 = 2,7 : 2 = 1,35 м.
Ответ: 1,35.
Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Задание проверяет применение подобия треугольников к нахождению высоты фонаря.
Фонарь и человек образуют с землёй прямоугольные треугольники с общим углом при конце тени, поэтому эти треугольники подобны.
Расстояние от основания фонаря до конца тени равно 17 + 8 = 25 м.
Соответствующие стороны пропорциональны: H/25 = 1,6/8, откуда H = 25 · 1,6/8 = 5 м.
Ответ: 5.
Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет умение находить суммарную длину сторон прямоугольного участка.
Вдоль моря расположена сторона длиной 800 м, поэтому забор нужен для противоположной стороны длиной 800 м и двух сторон по 400 м.
Длина забора равна 800 + 2 · 400 = 1600 м.
Ответ: 1600.
Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 м и 40 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 7 м и 6 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание проверяет умение находить площадь прямоугольника и площадь оставшейся части участка.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = ab.
Площадь участка равна 35 · 40 = 1400 м², а площадь дома — 7 · 6 = 42 м².
Дом занимает часть участка, поэтому свободная площадь равна 1400 − 42 = 1358 м².
Ответ: 1358.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5,3 м,
а длина 6 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение величин. По результатам измерений площадь комнаты равна S = 5,3 · 6 = 31,8 м². Она больше указанной на плане на 31,8 − 31,5 = 0,3 м². Ответ: 0,3.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,4 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м,
а длина 5,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение площадей.
По точным измерениям площадь комнаты равна S = 3 · 5,2 = 15,6 м².
Она больше указанной на плане на 15,6 − 15,4 = 0,2 м².
Ответ: 0,2.
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м,
если длина его тени равна 9 м, а высота фонаря равна 4 м?
Задание проверяет применение подобия треугольников к нахождению расстояний. Обозначим расстояние от фонаря до человека через x м, тогда расстояние от фонаря до конца тени равно (x + 9) м. Фонарь и человек образуют с землёй прямоугольные треугольники, подобные по двум углам: прямому и общему углу у конца тени. Поэтому (x + 9)/9 = 4/1,8. Получаем x + 9 = 20, откуда x = 11 м. Ответ: 11.
| Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 30 м. Дом, расположенный |
|
Задание проверяет вычисление площадей квадрата и прямоугольника.
Площадь квадратного участка равна S = a² = 30² = 900 м².
Площадь дома равна произведению его сторон: 8 · 5 = 40 м².
Площадь свободной части участка равна 900 − 40 = 860 м².
Ответ: 860.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Задание проверяет практическую планиметрию и пропорциональность перемещений при повороте рычага.
Перемещения концов пропорциональны длинам плеч. Длинное плечо в 7/2 раза длиннее короткого, поэтому конец длинного плеча опустится на 1 × 7/2 = 3,5 м.
Ответ: 3,5
От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к расчёту высоты.
Провод образует гипотенузу прямоугольного треугольника, горизонтальный катет которого равен 8 м.
Вертикальный катет равен разности высот концов провода: √(10² − 8²) = √36 = 6 м.
Верх столба расположен выше точки крепления на стене, поэтому высота столба равна 3 + 6 = 9 м.
Ответ: 9.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3 м?
Задание проверяет вычисление количества квадратных плиток для прямоугольной поверхности.
Переведём размеры стены в сантиметры: 3,4 м = 340 см, 3 м = 300 см.
Вдоль одной стороны поместится 340 : 20 = 17 плиток, вдоль другой — 300 : 20 = 15 плиток.
Всего потребуется 17 · 15 = 255 плиток.
Ответ: 255.
| Несколько ступеней лестницы покрасили |
|
Задание проверяет вычисление площади поверхности, составленной из прямоугольников.
На рисунке заштрихованы пять горизонтальных и пять вертикальных прямоугольных частей ступеней.
Площадь одной горизонтальной части равна 35 · 90 = 3150 см², а одной вертикальной — 20 · 90 = 1800 см².
Общая окрашенная площадь: S = 5 · (3150 + 1800) = 24750 см².
Ответ: 24750.
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Задание проверяет умение вычислять площади и определять количество дощечек для покрытия пола.
Площадь пола: S = a · b = 5 · 8 = 40 м².
Переведём размеры дощечки в метры: 5 см = 0,05 м, 40 см = 0,4 м.
Площадь одной дощечки равна 0,05 · 0,4 = 0,02 м², поэтому потребуется 40 : 0,02 = 2000 дощечек.
Такая укладка возможна без обрезки: вдоль сторон комнаты помещаются 5 : 0,05 = 100 и 8 : 0,4 = 20 дощечек.
Ответ: 2000.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2,8 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойств треугольника для нахождения высоты опоры.
На рисунке столб параллелен вертикальной стороне горки и проходит через середину наклонной стороны, поэтому является средней линией треугольника.
Его высота равна половине высоты горки: l = h/2 = 2,8/2 = 1,4 м.
Ответ: 1,4.
