Практическая планиметрия · 251 задание ФИПИ с ответами
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Задание проверяет пропорциональность перемещений концов рычага длинам плеч при одинаковом повороте. Короткое плечо длиной 2 м поднялось на 1 м, поэтому конец длинного плеча длиной 5 м опустится на 5 ÷ 2 = 2,5 м.
Ответ: 2,5
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к практической задаче.
Провод является гипотенузой прямоугольного треугольника, горизонтальный катет которого равен 8 м.
Вертикальный катет равен разности высот крепления: 9 − 3 = 6 м.
Длина провода: √(8² + 6²) = √100 = 10 м.
Ответ: 10.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 30,6 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5 м,
а длина 6,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение площадей. По точным измерениям площадь комнаты равна S = ab = 5 · 6,2 = 31 м². Она больше указанной на плане на 31 − 30,6 = 0,4 м². Ответ: 0,4.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 16,3 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,2 м, |
|
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение величин.
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: S = ab.
По точным измерениям S = 3,2 · 5 = 16 м².
Разница с площадью на плане составляет 16,3 − 16 = 0,3 м².
Ответ: 0,3.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,65 м, а наибольшая
высота h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции. Вертикальные опоры высотой h₁ и h₂ параллельны, а столб посередине соответствует средней линии трапеции. Его высота равна полусумме высот крайних опор: l = (1,65 + 2,65)/2 = 2,15 м. Ответ: 2,15.
Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту этого столба, если высота горки равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение подобия треугольников к вычислению высоты опоры.
Вертикальная опора параллельна высоте горки и проходит через середину её прямого наклонного спуска.
Малый и большой прямоугольные треугольники подобны, а их наклонные стороны относятся как 1 : 2, поэтому высота опоры равна половине высоты горки.
Получаем 2,5/2 = 1,25 м.
Ответ: 1,25.
| Дачный участок имеет форму прямоугольника |
|
Задание проверяет вычисление периметра и подсчёт общей длины изгороди.
Периметр прямоугольного участка: P = 2 · (30 + 20) = 100 м.
На рисунке две стороны квадрата совпадают с внешней границей участка и уже учтены в периметре.
Внутри нужно добавить две стороны квадрата: 12 + 12 = 24 м.
Суммарная длина изгороди: 100 + 24 = 124 м.
Ответ: 124.
Дачный участок имеет форму прямоугольника
со сторонами 35 м и 20 м. Хозяин отгородил
на участке квадратный вольер со стороной 10 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание проверяет умение вычислять площади прямоугольника и квадрата.
Площадь всего участка равна произведению его сторон: S = 35 · 20 = 700 м².
Площадь квадратного вольера равна квадрату его стороны: 10² = 100 м².
Площадь оставшейся части участка равна 700 − 100 = 600 м².
Ответ: 600.
Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 500 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно обнести забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойств прямоугольника к расчёту длины забора.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому огородить нужно одну сторону длиной 1000 м и две стороны длиной 500 м.
Складываем их длины: 1000 + 500 + 500 = 2000 м.
Ответ: 2000.
Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры , вторая , кухня имеет размеры , санузел . Найдите площадь всей квартиры (в квадратных метрах).
Задание проверяет чтение плана и вычисление площади прямоугольника. По чертежу вся квартира имеет прямоугольную форму. Её длина равна 3,5 + 4 + 3,5 = 11 м, а ширина — 4 + 2 = 6 м. Поэтому площадь квартиры S = 11 · 6 = 66 м². Ответ: 66.
Дачный участок имеет форму прямоугольника
со сторонами 25 м и 40 м. Хозяин планирует обнести участок забором и разделить его таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.
Задание проверяет умение вычислять периметр прямоугольника и учитывать внутреннюю перегородку.
Длина внешнего забора равна P = 2(a + b) = 2 · (25 + 40) = 130 м.
Чтобы отделить квадрат со стороной 25 м, нужна перегородка длиной 25 м.
Суммарная длина забора равна 130 + 25 = 155 м.
Ответ: 155.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,9 м, а наибольшая
высота h2 равна 2,9 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Вертикальные отрезки высотой 1,9 м и 2,9 м параллельны и служат основаниями трапеции на рисунке.
Столб проходит через середину перил и параллелен основаниям, поэтому является средней линией трапеции.
Его высота равна полусумме оснований: l = (1,9 + 2,9)/2 = 2,4 м.
Ответ: 2,4.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 12 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м,
а длина 4,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет умение вычислять площадь прямоугольника и сравнивать её с заданной величиной.
Площадь прямоугольника находится по формуле S = a · b.
По точным измерениям площадь комнаты равна 3 · 4,2 = 12,6 м².
Разница с площадью на плане составляет 12,6 − 12 = 0,6 м².
Ответ: 0,6.
Дачный участок имеет форму прямоугольника
со сторонами 20 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.
Задание проверяет умение находить общую длину внешнего и внутреннего ограждений. Длина забора по границе участка равна его периметру: P = 2 · (20 + 30) = 100 м. Чтобы выделить квадрат со стороной 20 м, требуется внутренняя перегородка длиной 20 м. Суммарная длина забора: 100 + 20 = 120 м. Ответ: 120.
| Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту этого столба, если высота горки равна 4,2 м. Ответ дайте в метрах. |
|
Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника.
Столб проходит через середину наклонной стороны горки и параллелен вертикальной стороне высотой h.
Следовательно, столб является средней линией треугольника, а его длина равна половине высоты горки.
Получаем l = h/2 = 4,2/2 = 2,1 м.
Ответ: 2,1.
| Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 25 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью |
|
Задание проверяет вычисление площадей прямоугольника и частей круга.
Площадь каждого участка равна S = a · b = 25 · 30 = 750 м².
Граница проходит через центр круглого пруда и делит его на две равные по площади части, поэтому на каждый участок приходится 150/2 = 75 м² пруда.
Площадь оставшейся части каждого участка равна 750 − 75 = 675 м².
Ответ: 675.
Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 40 см,
а высота экрана 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольному экрану. Ширина и высота — катеты, а диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Поэтому ширина равна √(40² − 24²) = √(1600 − 576) = √1024 = 32 см. Ответ: 32.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,6 м, а наибольшая
высота h2 равна 2,6 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойств трапеции к практической ситуации.
Вертикальные отрезки высот h₁ и h₂ параллельны, а столб посередине соответствует средней линии трапеции.
Её длина равна полусумме оснований: l = (h₁ + h₂)/2.
Получаем l = (1,6 + 2,6)/2 = 2,1 м.
Ответ: 2,1.
Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 30 м и 40 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 5 м и 6 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание проверяет умение находить площадь свободной части прямоугольного участка.
Площадь прямоугольника вычисляют по формуле S = ab.
Площадь участка равна 30 · 40 = 1200 м², а площадь под домом — 5 · 6 = 30 м².
Свободная площадь равна разности этих площадей: 1200 − 30 = 1170 м².
Ответ: 1170.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20,1 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет умение вычислять площадь прямоугольника и сравнивать площади.
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: S = ab.
По точным измерениям площадь комнаты равна 4 · 5,1 = 20,4 м².
Она больше указанной на плане на 20,4 − 20,1 = 0,3 м².
Ответ: 0,3.
