Практическая стереометрия · 233 задания ФИПИ с ответами
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Уровень вырос в 1,6 раза, значит объём «вода + деталь» — 10 · 1,6 = 16 л. Объём детали 16 − 10 = 6 л = 6000 см³.
Ответ: 6000.
К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
У куба 6 граней, у пирамиды 4 боковые грани и основание. Склеенные квадраты исчезают: у куба остаётся 5 граней, у пирамиды 4 — всего 9.
Ответ: 9.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Деталь — призма высотой 4, в основании Г-образная фигура из прямоугольников 4 × 1 и 2 × 1. Площадь основания 4 + 2 = 6, периметр 2 · (4 + 2) = 12. Площадь поверхности 2 · 6 + 12 · 4 = 60 см².
Ответ: 60.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 50 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два с половиной раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Объём воды не меняется. Радиус больше в 2,5 раза — площадь дна больше в 6,25 раза, значит уровень ниже в 6,25 раза: 50 : 6,25 = 8 см.
Ответ: 8.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Задание проверяет умение находить объёмы подобных конусов.
На рисунке сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.
Отношение высот равно 4/5, а отношение объёмов равно (4/5)³ = 64/125.
Полный объём сосуда составляет 80 · 125/64 = 156,25 мл.
Нужно долить 156,25 − 80 = 76,25 мл.
Ответ: 76,25.
| Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа |
|
Задание проверяет вычисление объёма детали из прямоугольных параллелепипедов. Используем формулу V = a·b·c.
Дополним деталь до параллелепипеда размерами 3 см, 2 см и 4 см: его объём равен 3·2·4 = 24 см³. Добавленная часть имеет размеры 3 − 2 = 1 см, 2 см и 4 − 2 = 2 см, поэтому её объём равен 1·2·2 = 4 см³.
Объём детали равен 24 − 4 = 20 см³.
Ответ: 20.
| От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? |
|
Задание проверяет умение считать вершины многогранника после срезания углов куба.
У куба 12 рёбер.
На каждом исходном ребре после отпиливания его концов остаются две новые вершины.
Поэтому у получившегося многогранника 12 · 2 = 24 вершины.
Ответ: 24.
| Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и перевод единиц. Объём находится по формуле V = abc. Получаем V = 80 · 30 · 40 = 96 000 см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, объём аквариума равен 96 000 : 1000 = 96 л. Ответ: 96.
| Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре |
|
Задание проверяет вычисление объёма куба и перевод единиц объёма. Объём куба со стороной a равен V = a³. Объём аквариума составляет 40³ = 64000 см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, получаем 64000 : 1000 = 64 л.
Ответ: 64.
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху? |
|
Задание проверяет отношение объёмов подобных конусов.
Сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.
Высота жидкости составляет половину высоты сосуда, значит, её объём составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Полный объём сосуда равен 90 · 8 = 720 мл.
Нужно долить 720 − 90 = 630 мл.
Ответ: 630.
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в четыре раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет зависимость уровня воды от площади основания цилиндрического сосуда.
Объём цилиндра V = πr²h, поэтому при неизменном объёме высота обратно пропорциональна квадрату радиуса.
Радиус увеличился в 4 раза, значит, площадь основания увеличилась в 4² = 16 раз.
Новый уровень воды: 80 : 16 = 5 см.
Ответ: 5.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет определение объёма детали по подъёму уровня жидкости. При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный своему объёму. Площадь квадратного основания бака равна S = 20² = 400 см². Объём детали равен V = S · Δh = 400 · 20 = 8000 см³.
Ответ: 8000.
| Плоскость, проходящая через точки , и (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней? |
|
Сечение проходит через три вершины куба и отсекает одну вершину. Большая часть имеет 7 исходных вершин; на гранях куба появляются ещё 3 вершины сечения. Всего 7 + 3 = 10 вершин.
Ответ: 10.
| В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости. Полностью погружённая деталь вытесняет жидкость, объём которой равен объёму детали.
В цилиндрическом баке этот объём вычисляется по формуле V = S·Δh. Получаем V = 80·10 = 800 см³.
Ответ: 800.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет умение находить объёмы подобных конусов. Жидкость образует конус, высота и радиус которого в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда. По формуле V = πr²h/3 его объём составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда. Поэтому объём сосуда равен 40 · 8 = 320 мл. Ответ: 320.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа
на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет умение находить объём многогранника вычитанием объёма выреза.
Внешний прямоугольный параллелепипед имеет размеры 2 см × 3 см × 4 см.
Из него удалён сквозной прямоугольный вырез с размерами 1 см × 1 см × 4 см.
По формуле V = abc объём детали равен 2 · 3 · 4 − 1 · 1 · 4 = 20 см³.
Ответ: 20.
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах. |
|
Задание проверяет связь объёмов подобных конусов с их линейными размерами.
Высота конуса жидкости составляет половину высоты сосуда, и радиус его основания также составляет половину радиуса сосуда.
По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Следовательно, объём сосуда равен 30·8 = 240 мл.
Ответ: 240.
| Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 115 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах. |
|
Задание проверяет применение подобия к размерам пространственных фигур. У точной копии все линейные размеры изменяются в одинаковое число раз. Сторона основания исходной пирамиды равна 230 м = 23 000 см, поэтому масштаб копии составляет 115/23 000 = 1/200. Высота копии равна 14 700/200 = 73,5 см. Ответ: 73,5.
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения |
|
Задание проверяет умение находить объём детали по изменению уровня воды в призме.
Объём призмы вычисляют по формуле V = S основания · h, поэтому объём под уровнем воды пропорционален его высоте.
После погружения детали объём под новым уровнем составляет 10 · 1,7 = 17 л.
Разность объёмов равна объёму детали: V = 17 − 10 = 7 л = 7000 см³.
Ответ: 7000.
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 540 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте |
|
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Сосуд расположен вершиной вниз, поэтому налитая жидкость образует конус, подобный всему сосуду.
Высота жидкости составляет 1/3 высоты сосуда, а её объём составляет (1/3)³ = 1/27 объёма сосуда.
Объём жидкости: 540 · 1/27 = 20 мл.
Ответ: 20.
