Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и вычисление площади прямоугольника.

По рисунку конёк направлен вдоль стены длиной 10 м, а поперечная ширина дома равна 12 м.

Равные скаты делят эту ширину пополам, поэтому наклонная сторона ската равна √(6² + 2,5²) = √42,25 = 6,5 м.

Два прямоугольных ската имеют общую площадь S = 2 · 10 · 6,5 = 130 м².

Ответ: 130.

Задание проверяет сравнение объёмов призм с квадратными основаниями.

Объём такой призмы вычисляется по формуле V = a²h, где a — сторона основания, h — высота.

Сторона основания первой коробки в 3 раза больше, поэтому площадь её основания больше в 3² = 9 раз.

Высота первой коробки в 4,5 раза меньше, значит, отношение объёмов равно 9 : 4,5 = 2.

Ответ: 2.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра: V = πr²h.

При переливании объём воды сохраняется, поэтому высота воды обратно пропорциональна площади основания.

Если радиус увеличить в 2 раза, площадь основания увеличится в 2² = 4 раза.

Новый уровень воды: 80 : 4 = 20 см.

Ответ: 20.

Задание проверяет применение подобия к объёмам конусов. Жидкость образует конус, высота которого в 4 раза меньше высоты сосуда, поэтому её объём в 4³ = 64 раза меньше вместимости сосуда. Вместимость равна 80 · 64 = 5120 мл. Долить нужно 5120 − 80 = 5040 мл. Ответ: 5040.

Задание проверяет умение находить площадь крыши с помощью теоремы Пифагора. Равные скаты делят ширину дома пополам, поэтому горизонтальная проекция наклонной стороны ската равна 6/2 = 3 м. Наклонная сторона равна √(3² + 4²) = 5 м. Каждый скат — прямоугольник площадью 8 · 5 = 40 м², а вся крыша имеет площадь 2 · 40 = 80 м². Ответ: 80.

Здесь проверяется вычисление площади поверхности многогранника с прямыми двугранными углами. Разобьём деталь на нижний параллелепипед размером 5 × 2 × 1 см и верхний выступ размером 2 × 2 × 2 см.

Площади их поверхностей: 2 × (5 × 2 + 5 × 1 + 2 × 1) = 34 см² и 6 × 2² = 24 см². Общая площадь соприкосновения равна 2 × 2 = 4 см²; она учтена у обоих параллелепипедов, поэтому её вычитаем дважды.

34 + 24 − 2 × 4 = 50 см². Ответ: 50.

Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня воды в цилиндре. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = S·h, где S — площадь основания, h — высота.

При неизменной площади основания увеличение уровня в 1,6 раза означает такое же увеличение объёма под этим уровнем: 5·1,6 = 8 л. Объём полностью погружённой детали равен разности: 8 − 5 = 3 л = 3000 см³.

Ответ: 3000.

Задание проверяет связь объёма и высоты в цилиндрическом сосуде. По формуле V = S · h при постоянной площади основания увеличение высоты в 1,4 раза означает такое же увеличение объёма под уровнем воды. Деталь занимает дополнительный объём: V = 10 · (1,4 − 1) = 4 л = 4000 см³. Ответ: 4000.

Задание проверяет применение формулы объёма призмы при переливании воды.

Основания сосудов — квадраты, поэтому при увеличении стороны втрое площадь основания увеличивается в 3² = 9 раз.

Объём воды V = S · h сохраняется, значит, высота слоя воды уменьшается в 9 раз.

Новый уровень воды равен 90 : 9 = 10 см.

Ответ: 10.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда. Радиус этого конуса также в 2 раза меньше, поэтому по формуле V = πr²h/3 его объём составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда. Следовательно, объём сосуда равен 50 · 8 = 400 мл. Ответ: 400.

Задание проверяет умение вычислять площадь поверхности куба. У ящика без одной грани нужно покрасить снаружи пять квадратных граней. Площадь каждой грани равна 10² = 100 см², поэтому общая площадь равна 5 · 100 = 500 см². Ответ: 500.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.

Площадь квадратного основания бака равна S = 60² = 3600 см².

Объём детали равен V = S · Δh = 3600 · 5 = 18000 см³.

Ответ: 18000.

Задание проверяет вычисление объёма многогранника разбиением на прямоугольные параллелепипеды.

Нижняя часть имеет размеры 3 см, 3 см и 4 − 2 = 2 см, поэтому её объём равен 3 · 3 · 2 = 18 см³.

Верхняя часть имеет глубину 3 − 2 = 1 см, ширину 3 см и высоту 2 см.

Её объём равен 3 · 1 · 2 = 6 см³.

Объём всей детали: V = 18 + 6 = 24 см³.

Ответ: 24.

Задание проверяет связь массы тела с его объёмом и изменение объёма при увеличении размеров.

Для однородных шаров из одного материала масса пропорциональна объёму: m = ρV.

Объём шара V = (4/3)πr³, поэтому при увеличении диаметра в 3/2 раза масса увеличивается в (3/2)³ раза.

Масса второго шара равна 48 · (3/2)³ = 48 · 27/8 = 162 г.

Ответ: 162.

Задание проверяет умение считать грани и рёбра многогранников после разрезания. У части, содержащей переднее боковое ребро призмы, две треугольные грани и три четырёхугольные, включая сечение. У неё (2 · 3 + 3 · 4)/2 = 9 рёбер: каждое ребро принадлежит двум граням. У другой части две четырёхугольные и четыре четырёхугольные боковые грани, всего 12 рёбер. Значит, у многогранника с меньшим числом рёбер 2 + 3 = 5 граней. Ответ: 5.

Задание проверяет вычисление объёма детали разбиением на прямоугольные параллелепипеды. Объём каждого параллелепипеда находится по формуле V = a·b·c. Нижняя часть имеет размеры 5 см, 3 см и 1 см, поэтому её объём равен 5·3·1 = 15 см³. Верхняя выступающая часть имеет высоту 2 − 1 = 1 см и объём 2·3·1 = 6 см³. Общий объём равен 15 + 6 = 21 см³. Ответ: 21.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.

Основание бака — квадрат площадью S = 10² = 100 см².

Объём детали равен V = S · Δh = 100 · 30 = 3000 см³.

Ответ: 3000.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде.

Конус жидкости подобен полному конусу: его высота и радиус составляют 1/5 соответствующих размеров сосуда.

По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/5)³ = 1/125 объёма сосуда.

Получаем 800 : 125 = 6,4 мл.

Ответ: 6,4.

Задание проверяет связь массы однородного шара с его объёмом.

Для одного материала масса пропорциональна объёму, а объём шара V = πd³ / 6, где d — диаметр.

Отношение объёмов шаров равно (2 / 3)³ = 8 / 27.

Масса меньшего шара равна 162 · 8 / 27 = 48 г.

Ответ: 48.

Задание проверяет умение сравнивать объёмы цилиндров.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота.

У второй кружки высота в 4 раза больше, а радиус в 1,5 раза больше, чем у первой.

Поэтому V₂/V₁ = 1,5² · 4 = 2,25 · 4 = 9.

Ответ: 9.