Практическая стереометрия · 233 задания ФИПИ с ответами
| Вода в сосуде цилиндрической формы находится |
|
Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра: V = πr²h.
При переливании объём воды сохраняется, а при увеличении радиуса вдвое площадь основания увеличивается в 2² = 4 раза.
Поэтому высота уровня воды уменьшится в 4 раза: 60 : 4 = 15 см.
Ответ: 15.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Используем свойство подобных конусов: их объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров. По рисунку жидкость образует конус у вершины сосуда; его высота составляет 1/5 высоты сосуда, поэтому объём жидкости равен 1/125 объёма сосуда.
Объём сосуда: 6 · 125 = 750 мл.
Ответ: 750.
| Вода в сосуде цилиндрической формы находится |
|
Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра: V = πr²h.
При увеличении радиуса в 1,5 раза площадь основания увеличивается в 1,5² = 2,25 раза.
Объём воды сохраняется, поэтому высота её столба уменьшается в 2,25 раза.
Новый уровень воды равен 90 / 2,25 = 40 см.
Ответ: 40.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней |
|
Задание проверяет умение считать грани составного многогранника. У шестиугольной призмы 6 боковых граней и 2 основания, а у шестиугольной пирамиды 6 боковых граней и 1 основание. Два склеенных основания находятся внутри и не являются гранями получившегося тела. Поэтому число граней равно 8 + 7 − 2 = 13. Ответ: 13.
| Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне 160 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить |
|
Задание проверяет применение формулы объёма призмы: V = S · h, где S — площадь основания.
Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому S = a².
При увеличении стороны основания вдвое его площадь увеличивается в 2² = 4 раза.
Объём воды сохраняется, поэтому новый уровень равен 160 / 4 = 40 см.
Ответ: 40.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер
в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет умение находить объём детали с прямоугольным вырезом.
Деталь можно получить из прямоугольного параллелепипеда размером 4 см × 5 см × 1 см, удалив параллелепипед размером 2 см × 2 см × 1 см.
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляют по формуле V = abc.
Объём детали: V = 4 · 5 · 1 − 2 · 2 · 1 = 16 см³.
Ответ: 16.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде через подобие тел.
Жидкость образует конус, высота и радиус которого в 2 раза меньше высоты и радиуса сосуда.
Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров, поэтому жидкость занимает (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Объём сосуда равен 60 · 8 = 480 мл, значит, долить нужно 480 − 60 = 420 мл.
Ответ: 420.
| Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне 10 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить |
|
Задание проверяет применение формулы объёма призмы при переливании воды.
Объём воды сохраняется: S₁ · h₁ = S₂ · h₂.
Основания сосудов — квадраты, поэтому при уменьшении стороны втрое площадь основания уменьшается в 3² = 9 раз.
Высота уровня воды увеличится в 9 раз и составит h₂ = 10 · 9 = 90 см.
Ответ: 90.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной
призмы, налито 5 л воды. После полного погружения
в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Задание проверяет вычисление объёма погружённой детали по изменению уровня воды.
Объём в прямой призме равен V = S·h, где S — площадь основания, h — высота заполненной части.
При увеличении уровня в 2,4 раза объём под новым уровнем составит 5·2,4 = 12 л.
Объём детали равен разности: 12 − 5 = 7 л = 7000 см³.
Ответ: 7000.
| В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 90 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.
Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный своему объёму.
Объём дополнительного слоя в цилиндре: V = S · h = 90 · 10 = 900 см³.
Ответ: 900.
Однородный шар диаметром 4 см весит 192 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 6 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет вычисление массы шара при изменении его диаметра.
Масса равна m = ρV, а объём шара равен V = πd³/6.
Плотность материала одинакова, поэтому при увеличении диаметра в 6/4 раза масса увеличивается в (6/4)³ раза.
Искомая масса равна 192 · (6/4)³ = 192 · 27/8 = 648 г.
Ответ: 648.
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет вычисление объёма детали по подъёму уровня жидкости.
Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh.
Основание бака — квадрат, поэтому S = 60² = 3600 см².
Следовательно, V = 3600 · 10 = 36000 см³.
Ответ: 36000.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Задание проверяет вычисление объёмов в коническом сосуде с помощью подобия.
На рисунке жидкость образует конус с высотой, равной половине высоты сосуда.
Объёмы подобных конусов относятся как кубы их высот, поэтому жидкость занимает (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Полный объём сосуда равен 70 · 8 = 560 мл, значит, долить нужно 560 − 70 = 490 мл.
Ответ: 490.
| Плоскость, проходящая через точки , и (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника |
|
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет определение объёма детали по изменению уровня жидкости.
Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму: V = S · Δh.
Основание бака — квадрат со стороной 20 см, его площадь S = 20² = 400 см².
Следовательно, объём детали равен 400 · 20 = 8000 см³.
Ответ: 8000.
| Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне 100 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить |
|
Задание проверяет вычисление объёма призмы и уровня воды.
Объём воды сохраняется: V = S·h, где S — площадь основания.
Основание — квадрат, поэтому при увеличении его стороны вдвое площадь увеличивается в 2² = 4 раза.
Высота воды уменьшится в 4 раза: 100 : 4 = 25 см.
Ответ: 25.
| В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения |
|
Задание проверяет вычисление объёма детали по изменению уровня воды в призме.
Объём призмы V = Sh, поэтому при постоянной площади основания занятый объём увеличивается во столько же раз, что и уровень воды.
Объём полностью погружённой детали равен приросту занятого объёма: V = 5 · (1,4 − 1) = 2 л.
Переводим в кубические сантиметры: 2 · 1000 = 2000 см³.
Ответ: 2000.
Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет связь массы однородного тела с его объёмом.
У шаров из одного материала одинаковая плотность, поэтому их массы пропорциональны объёмам.
По формуле V = πd³/6 объём шара пропорционален кубу диаметра.
Масса меньшего шара равна 375 · (4/5)³ = 375 · 64/125 = 192 г.
Ответ: 192.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 35 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет применение подобия при вычислении объёма конуса.
Высота и радиус основания конуса жидкости в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда.
По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Объём сосуда равен 35 · 8 = 280 мл.
Ответ: 280.
| В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 70 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. |
|
Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня жидкости. Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму. В цилиндрическом баке этот объём вычисляется по формуле V = S · Δh, где S — площадь основания, Δh — подъём уровня жидкости. Получаем V = 70 · 10 = 700 см³.
Ответ: 700.
